拟线性双曲型守恒律方程组相关问题研究

The theory of nonlinear partial differential equations of mathematical foundation research and practical application has important significance. By studying the nonlinear partial differential equations, the regularities of many nonlinear phenomena in nature world, such as shock wave, detonation wave and traffic jam, can be explored. This project will study the theory of nonlinear hyperbolic differential equations for conservation laws. It mainly includes the mathematical theory of multi-dimensional pseudo-steady flow (self-similar flow in unsteady flow): two dimensional Euler equations of Riemann problem for gas dynamics and MHD, and the interaction of elementary waves, gas expansion to vacuum problems, shock reflection problems, traffic wave problems in traffic flow, etc. By use of characteristic decomposition method, the generalized characteristic analysis method and a prior estimate method, etc., we will specifically study the basic structures of gas flow: semi-hyperbolic patches, shock reflection patterns and supersonic bubbles, etc. Oblique derivative free boundary value problems of elliptic equations in transonic flow will be studied. And the existence and smoothness of the solution in the subsonic region may be determined. It will result the global solution of the mixed type problems in two-dimensional self-similar Euler equations. By use of numerical generalized characteristic analysis method and the numerical analysis in numerical simulation, study the semi-hyperbolic structure, we may get an intuitive basis and inspiration for the theoretical proof. To establish the mathematical model of traffic flow, and study the traffic jam problem in urban transportation. Set up and improve the mathematical theory of pseudo steady flow on mult-dimensionsions of hyperbolic systems.

非线性偏微分方程组理论对数学基础研究和实际应用都有着重要的意义。自然界中的许多非线性现象如：激波、爆轰波以及交通阻塞等，都可通过研究非线性偏微分方程组来探索其规律。本项目将研究非线性双曲型守恒律方程组理论。主要包括高维拟定常流(非定常流的自相似流动)的数学理论：二维气体动力学、磁流体动力学Euler方程组的Riemann问题及基本波的相互作用、气体向真空扩散问题、激波反射问题，交通流中车流波动问题等。运用特征分解、广义特征分析、先验估计等方法，研究气体流动的一些基本结构：半双曲结构、激波反射结构、超声泡等，研究跨音流的斜导数自由边界混合型问题，确定解在亚音区的存在和光滑性，从而得到Euler方程混合型问题的整体解。运用数值广义特征分析方法，进行数值模拟，研究分析半双曲结构，为理论证明提供直观依据和启发。建立交通流数学模型，研究城市交通中交通阻塞问题等。建立完善高维双曲方程问题的数学理论。

非线性偏微分方程组理论对数学基础研究和实际应用都有着重要的意义。自然界中的许多非线性现象如：激波、爆轰波以及交通阻塞等，都可通过研究非线性偏微分方程组来探索其规律。本项目主要研究非线性双曲型守恒律方程组的数学理论和数值模拟。主要包括高维拟定常流(非定常流的自相似流动)的数学理论：气体动力学二维磁流体动力学Euler方程组的Riemann问题及基本波的相互作用、气体向真空扩散问题、疏散波绕射问题，交通流中变车道宽度问题等。运用特征分解、广义特征分析、先验估计等方法，研究拟定常超音速、音速和亚音速来流绕一尖角的绕流问题，得到该问题的整体解。得到了二维磁流体动力学Euler方程组气体向真空扩散问题的整体解。给出了动脉血液流模型的整体熵条件，从而得到Riemann问题的唯一解。得到了椭圆-双曲类型(E-H)正规激波折射的稳定性。研究得到了变截面管道流的Riemann的解以及波的相互作用。得到了具有不连续地形的浅水方程基本波的相互作用。发展广义Riemann问题（GRP）格式，对动脉血液流模型进行数值模拟，设计基于广义Riemann问题的气体动力学欧拉方程随机选择计算方法。建立变车道宽度Aw-Rascle交通流数学模型，研究城市交通中基本波的相互作用以及交通阻塞等问题。研究变截面管道流以及血流动力学血液流动的相关问题。建立完善高维双曲方程问题的数学理论。

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