三角剖分、凸性问题及阿基米德铺砌相关性质研究

Discrete and combinatorial geometry is an important branch in modern mathematics. This project mainly focuses on the study of triangulations, convexity, and properties of Archimedean tilings, to be precise, we will study: Discrete and combinatorial geometry is an important branch in modern mathematics. This project mainly focuses on the study of triangulations, convexity, and properties of Archimedean tilings, to be precise, we will study: (a) acute triangulations of surfaces of non-polyhedral convex bodies, and try to obtain a uniform upper bound for the size of the triangulations; combinatorial acute triangulations in metric spaces other than Euclidean spaces; (b) properties of F-convex sets defined by a family F consisting of some discrete point sets satisfying some given condition；relationships between F-convexity and classical finite sets problems in combinatorial geometry; generalizations of the three main theorems in classical convexity, namely Carathéodory' s theorem, Radon's theorem and Helly' s theorem, to F-convex sets; (c) properties of the vertex-sets of all the 11 Archimedean tilings by using the theory and methods of the Geometry of Numbers; properties of Archimedean graphs. In order to progress our research, we will not only use theory and methods from graph theory, algebra, differential geometry, functional analysis and so on, but also use the aid of computer modelling and computer simulations. The results to be obtained will not only have potential impact on computer graphics and algorithms, but also promote interdisciplinary research between different domains of discrete and combinatorial geometry.

本项目拟重点研究离散与组合几何学中的三角剖分、凸性及阿基米德铺砌相关性质等问题，具体包括： 第一，在以往研究基础上，进一步探讨任意非多面体凸体表面的锐角三角剖分构形，力求获得统一的剖分数上界，进而将锐角三角剖分研究从欧氏空间扩展至其他度量空间，研究非欧氏空间中的组合锐角三角剖分问题； 第二，研究某些离散点集所成集族F导出的F-凸性问题，重点研究F-凸集的刻画及相关性质，探究F-凸性与组合几何中经典有限点集问题之间的关系；探讨经典凸性理论中三大基本定理在F-凸性下的相应推广； 第三，运用"数的几何"理论方法研究阿基米德铺砌顶点集的性质；探讨阿基米德铺砌图的相关性质。 本项目拟综合运用图论、代数、微分几何、泛函分析等领域中的相关理论和方法，借助计算机建模和运算，探索解决问题的方向和思路，研究结果对于计算机图形学及算法理论的创新，以及促进离散与组合几何中不同领域之间的交叉研究具有重要意义。

本项目主要围绕离散与组合几何学中的三角剖分问题、F-凸性问题以及阿基米德铺砌相关性质等问题开展研究工作，获得的主要研究成果包括：.一、关于三角剖分问题，确定了平面凸弧围绕过其两个端点的直线旋转所得凸旋转体表面的锐角三角剖分和非钝角三角剖分的构形及剖分数的上界。.二、鉴于F-凸性理论是一个新的领域，且当集族F中的元素为离散点集时能够建立起离散点集与连续集合在某种意义下的统一， 项目负责人与Tudor Zamfirescu院士合作，在该类问题的研究中投入了主要精力，获得了一系列研究成果，主要包括：.（1）研究了直角三角形顶点集形成的集族导出的rt-凸性问题，对连通集及离散点集的rt-凸性进行了刻画；运用贝尔范畴刻画了rt-凸集的“多”和“少”问题，研究了关于rt-凸性的泛型问题；进一步刻画了非rt-凸集的类凸包性质。.（2）研究了等腰三角形顶点集形成集族导出的it-凸性问题，并对连通集、紧集、离散点集的it-凸性进行了刻画。.（3）研究了矩形的顶点集导出的rq-凸性问题，并对非单连通集、无界集、以及部分离散点集的rq-凸性进行了刻画。.（4）研究了F-凸性下的F-凸稳定性问题，对凸体和离散点集的自私性进行了刻画，审稿人评价此项工作“其开启了凸几何中一类新概念的研究”。.（5）探讨了某些F-凸性下F-凸星形集和F-凸核的性质。.这些结果都为进一步开展F-凸性的理论研究提供了重要的方法借鉴。.三、关于阿基米德铺砌的研究，确定了关于全部11种阿基米德铺砌顶点集统一的Blichfeldt-型定理和Minkowski-型定理，以及在某种条件下统一的Pick-型定理。研究了阿基米德铺砌图有限子图的Gallai性质，以及阿基米德铺砌图中的定位配对控制集、开定位控制集、填装着色问题以及格点多边形的内部格点数问题。.四、成果发表、学术交流及研究生培养情况.项目执行期内项目组发表期刊论文18篇，其中SCI检索16篇，EI检索1篇，发表会议论文1篇，接受发表SCI期刊论文1篇，获河北省自然科学奖二等奖1项。.项目组成员赴国外学术交流7人次，在国内外会议上做大会或分组报告11人次。.项目组培养博士研究生4名，硕士研究生37名，其中2名博士生获得国家留学基金委资助赴德国进行为期一年的联合培养。项目执行期内3名博士研究生毕业并获得理学博士学位，23名硕士研究生毕业并获得理学硕士学位。

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