非线性半定规划的SQP型方法及其收敛性

Nonlinear semidefinite programming (NLSDP) problem is a nonlinear optimization problem with the constraint of symmetric positive semidefinite matrix cone. NLSDP has arisen in various application fields such as system control, structural optimization, eigenvalue optimization, financial engineering and so forth. However, the area of the numerical methodology for nonlinear semidefinite programming seems to be still in the early stage internationally. This project will research systematically the several sequential quadratic programming (SQP) algorithmic frameworks for nonlinear semidefinite programming problems、their convergent theory and numerical implementation. According to the characteristics of the SQP-type algorithms, SQP-type methods are classified as penalized SQP-type method、penalty-free SQP-type method and penalized SQP-type method with bi-object strategy. From the view of algorithmic framework, SQP-type methods can be divided as the line search SQP-type method and the trust region SQP-type method. We will tackle the incompatibility among the linearized constraints and the trust region for the implementation of the algorithms. Moreover, the algorithms will avoid to adopt the feasibility restoration phase. For the locally convergent rate, we will take into account of the Maratos effect, a phenomenon arising in many methods for nonlinear programming where the full superlinear step is rejected near the solution, which also happens possibly in nonlinear semidefinite programming problem. Similar to nonlinear programming, we will study the mechanism of the Maratos phenomenon and some techniques to overcome it. We also study the conditions of the superlinear convergence of the algorithms presented. Finally, we will do and analyze some numerical results for some test problems which come from the constrained matrix optimization problem library, where the quadratic semidefinite programming subproblem is solved by SDPT3 solver or SeDumi solver.

非线性半定规划是指带有对称半正定矩阵锥约束的非线性优化问题，它在系统控制、结构优化、特征值优化、金融管理等许多领域具有广泛的应用，但非线性半定规划的数值方法及其收敛性理论的研究在国际上尚处于早期研究阶段，本项目系统研究非线性半定规划问题的多种序列二次规划(SQP)型算法结构、收敛性理论及其数值表现。根据SQP型方法特征，SQP型方法分为惩罚SQP型方法、无惩罚SQP型方法和带双目标策略的惩罚SQP型方法；从算法结构上，SQP型方法分为直线搜索SQP型方法和信赖域SQP型方法；在算法实现方面，需要解决子问题约束不相容的问题，且算法尽可能不使用可行性恢复阶段；在算法的收敛速度方面，研究Maratos现象的产生机制及其克服方法，研究算法超线性收敛的条件；在数值实验方面，采用 SDPT3软件或SeDuMi软件等求解二次半定规划子问题，对约束矩阵优化问题库中的一些问题进行数值实验，分析数值实验结果。

非线性半定规划是指带有对称半正定矩阵锥约束的非线性优化问题，它在系统控制、结构优化、特征值优化、金融管理等许多领域具有广泛的应用，但非线性半定规划的数值方法及其收敛性理论的研究在国际上尚处于早期研究阶段，系统深入研究非线性半定规划问题的多种序列二次规划(SQP)型算法结构、收敛性理论及其数值表现，具有重要的科学意义和应用价值。本项目主要研究成果有：对非线性半定规划问题提出一种直线搜索精确惩罚方法，在没有约束规格的条件下，给出了算法的全局收敛性结果；在目标函数和约束条件函数的二阶导数满足李普希兹条件、非退化条件、带Sigma项的二阶充分条件下，SQP-方法在原始对偶空间是二阶收敛的，并证明了算法在原始空间是超线性收敛的，考虑既约非线性半定规划问题，分析算法的局部收敛速度，给出了算法在原始空间超线性收敛的充分和必要条件；提出非线性二阶锥规划问题的直线搜索无惩罚型方法，在通常假设条件下，算法具有全局收敛性；在弱二阶充分条件下，对一般非凸二次二阶锥规划的局部最优解给出了灵敏度分析结果，在此基础上，我们进一步分析了非线性二阶锥规划的序列二次规划 (SQP) 型方法的局部收敛性；对非线性半定规划问题，我们提出一个带双目标策略的直线搜索惩罚方法，在每步迭代，首先求解一个线性半定规划问题，以此判断线性化约束是否相容，搜索方向由精确罚函数的逐段二次线性模型产生，罚参数的更新仅仅与当前迭代点信息有关，直线搜索策略采用双目标策略，分析了算法的全局和局部收敛性，对若干困难问题进行了数值实验；对等式约束优化问题，给出 Maratos 效应的定义，指出拉格朗日函数值能够克服该效应的原因，提出一种带信赖域结构的无惩罚型方法和一种直线搜索 SQP-型方法，在较弱的条件下，分析了算法的全局收敛性和超线性收敛性；对收益非确定的非传统合作博弈模型等给出了一些理论结果。

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