叶轮叶片与飞机翼型的最优形状控制问题新的理论和方法研究

Based on the comprehensive theories of computational mathematics, fluid mechanics, cybernetics and differential geometry method, the project is aimed at the key issues of the shape optimal design for the impeller blades and airfoils, and carries out the multidisciplinary research. It provides a scientific basis to solve the shape optimal problem in rotating fluids, and is the innovation process which includes mathematical models, theoretical analysis, algorithm research and numerical implementation. We will study on the shape controllability of blades and airfoils via the differential geometry method, establish the mathematical models for theoretical analysis and numerical calculation, discuss Euler-Lagrange equations correponding to the cost functionals, propose the high performance algorithms for the shape optimal control problems by applying the conjugate method, present the computing method of the boundary layer equations, put forward a new method of the drag functional with respect to the shape gradient, analyze the dependence on the state equations and boundary shapes, and provide the optimal design methods for the practical applications. This project has the explicit physical background, the vital scientific significance and the broad application prospects, and it is the frontier issues in shape control problems. It plays an important role in the major equipments manufacturing and the national defense science.

本项目针对旋转流体机械形状设计中的关键问题，利用计算数学、流体力学、控制论以及微分几何的综合理论，开展多学科交叉研究，为叶轮机械叶片和飞机翼型的形状最优控制问题提供数学基础，是一个从数学模型、理论分析、算法研究到程序实现的创新过程。本项目拟运用微分几何方法研究叶片和翼型的几何外形最优控制，建立便于理论分析和数值计算的数学模型，构建对应于目标泛函的最优控制问题的Euler-Lagrange方程，利用共轭方法构造符合流体流动和气动特性的最优形状控制问题的高性能算法，研究边界层方程的计算方法，提出阻力泛函关于边界形状梯度新的求解算法，揭示控制方程与边界形状的依赖关系，为工业设计和研制提供新的方法。本项目具有明确的物理背景、重要的科学意义和广阔的应用前景，是由工业实际问题驱动的数学研究，属于目前国际上形状控制的前沿问题之一，在重大装备核心技术和国防尖端科学中起着重要的作用。

流体固壁边界形状最优控制问题源于重大装备中出现的数学问题，属于问题驱动的应用数学研究，是目前国际控制领域的前沿问题之一。本项目以叶轮机械叶片和飞机机翼的最优形状设计为目标，深入研究复杂几何形状的控制方法，发展相应的理论分析，为工业应用提供有效的理论支持。. 本项目的主要研究成果如下：1.原创性建立广义极小曲面和几何形状优化设计理论和方法，将设计对象的性能分析与计算数学方法相结合，构造出反映旋转Navier-Stokes方程解的全局性质的目标泛函。2. 深刻揭示了Navier-Stokes方程全局性质与旋转角速度、几何形状的依赖规律，提出了几何形状控制的设计方法，证明了最优控制问题解的存在性，推导出最优控制问题的Euler-Lagrange方程。3. 利用半测地坐标系，通过坐标变化把曲面的内蕴几何吸收到方程系数中；根据共轭方法进行灵敏度分析，通过目标泛函表达设计目标，深入研究目标泛函在边界表面的变化率，从而将形状控制问题转变为寻求满足约束的优化问题，构造出流体固壁边界形状控制的高效计算方法，显著提高了计算效率。4. 构造出复杂几何形状和物理边界下求解耦合方程和形状反演算法，研究多物理场耦合作用下物理量关于可变区域的可微性，得到相应的区域导数，能够更加准确真实地描述流动的本质，提高了形状反设计的可靠性。5.建立边界层内法向速度梯度和压力的方程，提出了边界层效用替代法，利用微分几何方法和张量运算，建立了一组二维流形上的偏微分方程组，求解得到边界上法向速度梯度。通过连接性边界条件与外部绕流相耦合，实现边界层内摄动解与边界层外Navier-Stokes方程的解相互迭代的过程。. 本项目建立了流体固壁边界形状最优控制问题的新方法和原理，围绕叶片的几何形状控制、飞机翼型设计等问题，进行了模型建立、数学分析、算法研究、直至软件开发的一系列研究过程，能够为工业应用提供有效的理论支持。

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