1-循环复形的Hall代数与李理论

The cross-over study of representation theory of algebras and Lie theory is always an international hot topic, the categorization of certain research objects in Lie theory via non-hereditary exact categories in representation theory of algebras is paid much attention in the field of interdisciplinary research. Let A be a finite dimensional hereditary algebra over a finite field, and let E be the (non-hereditary) exact category of 1-cyclic complexes over projective A-modules..In this project, we will study the connections between the Hall algebra theory of E and Lie theory. The main contents are as follows: we will study the existence of Hall polynomials in E; we will study the relations between degenerate Hall algebra of E and degenerate Hall algebra of A, furthermore, we will study the relations between their Hall algebras; by the degenerate Hall algebra of E, we define a Lie algebra L and try to give a characterization of its Lie algebra structure, moreover, we will also give a description of its root system in some sense; we will establish certain connections of the Lie algebra L to the positive part of some Kac--Moody Lie algebra and some 2-step nilpotent Lie algebra, besides, we will study the relations between their universal enveloping algebras; in the end, we will study the relations between the universal enveloping algebra of L and the degenerate Hall algebra of E.

代数表示论与李理论的交叉研究一直是国际上的热门课题，李理论中的相关对象通过代数表示论中非遗传正合范畴的范畴化在此交叉研究领域中备受关注。设A是一个有限域上的有限维遗传代数，E是由投射A-模的1-循环复形构成的（非遗传）正合范畴。.本项目拟研究E的Hall代数理论与李理论之间的联系。主要内容如下：研究E中Hall多项式的存在性；研究E的退化Hall代数与A的退化Hall代数之间的关系，进一步，研究它们的Hall代数之间的关系；通过E的退化Hall代数定义李代数L，我们试图刻画L的李代数结构，并给出其某种根系的描述；建立李代数L与某种Kac--Moody李代数的正部分以及某种二步幂零李代数之间的联系，同时研究它们的泛包络代数之间的联系；最后，研究李代数L的泛包络代数与E的退化Hall代数之间的关系。

1990年，Ringel通过有限域上有限维遗传代数的Hall代数给出了有限型量子群正部分的实现，后来Green推广此实现到任意型。为了给出量子群的整体实现，Xiao通过考虑遗传代数的扩展Ringel-Hall代数的Drinfeld double构造，给出了量子群的整体实现。.2013年，Bridgeland考虑遗传代数的投射模的2-循环复形的Hall代数，通过考虑局部化和约化，给出了量子群的整体实现。之后，Chen和Deng推广Bridgeland的构造到遗传代数投射模的m-循环复形范畴，这里的m大于或等于2。.遗传代数投射模的1-循环复形范畴的扩张结构比遗传代数的模范畴复杂，模范畴的Hall代数无法自然地嵌入到1-循环复形的Hall代数。 本项目主要研究表示有限型遗传代数的投射模的1-循环复形的Hall代数和李代数。具体研究成果如下：.给出了表示有限型遗传代数的投射模的1-循环复形的Hall代数的一组PBW-基以及一组生成元。通过PBW-基，证明了退化Hall代数是其Hall李代数的泛包络代数。计算了Hall代数的这组生成元间满足的一些关系，特别地，利用表示有限型遗传代数的投射模的1-循环复形的Hall代数的商代数实现了和量子群的联系。关于Hall李代数，证明了表示有限型遗传代数的投射模的1-循环复形的Hall多项式存在。对于1-循环复形范畴中的三个不可分解对象，给出了复形范畴中的Hall数与模范畴中的Hall数之间的联系。利用Hall多项式在1处的赋值，定义1-循环复形的Hall李代数L。若Q是二分箭图，即Q的每个顶点要么是sink点，要么是source点，李代数L给出了相应型的复半单李代数的实现。若Q是线性A型箭图，李代数L给出了自由二步幂零李代数的实现。给出了1-循环复形的Hall李代数的根系的描述。给出了李代数L的一组生成元，并给出了生成元间满足的一些关系。特别地，对于A型箭图，给出了李代数L的生成关系。另外，在本项目的研究过程中，我们也研究了遗传Abel范畴的Drinfeld double Hall代数中的完全例外序列；Green公式与Toen公式的联系；利用遗传代数的投射模的态射范畴的Hall代数给出了主系数量子丛代数的实现。

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