二次特征值问题的数值求解算法研究

A wide variety of applications require the solution of a quadratic eigenvalue problem (QEP), most of them arising in the dynamic analysis of structural mechanical, acoustic systesm, electrical circuit simulation, fluid mechanics, and modeling microelectronic mechanical systems. QEPs also have intersting applications in linear algebra problems and signal processing. Now, QEPs have become one of challenges for large scale of scientific and engineering computation. In this project, we will do the following studies: Firstly, combining the linearization methods for solving quadratic eigenvalue problems with the numerical methods for generalized eigenvalue problem, we will study the efficient algorithms based on linearization methods for quadratic eigenvalue problems; Secondly, we will investigate and choose appropriate Krylove subspace for quadratic eigenvalue projection algorithm and devise some projection algorithms for original problem, by studying Krylov subspace methods; Thirdly, we will improve and generalize the existing methods for QEPs and propose some fast and stable structure preserving algorithms, based on the special structure of QEPs; Finally, based on the study for QEPs, we hope to obtain some efficient methods for polynomial eigenvalue problems (PEPs) by generalizing the theoretical results and the idea of algorithms for QEPs.

二次特征值的数值求解问题出现在工程和物理许多应用领域，如结构力学中的动力分析、电信仿真、信号处理、微电子力学的建模、声波系统动力学分析等，是当今大规模科学与工程计算所遇到的挑战之一。在本项目中，我们将做如下研究工作：将研究二次特征值问题的线性化技术与广义特征值问题的数值求解方法结合起来，研究基于线性化技术的求解二次特征值问题的高效算法；通过对Krylov子空方法的研究，探索和选取适用于二次特征值投影算法的Krylov子空间，设计针对原问题的直接投影算法；利用二次特征值问题的特殊结构，改进现有的相关算法，设计出快速且稳定的保结构求解算法；在研究二次特征值问题的基础上，将相关理论成果及算法设计思想推广到多项式特征值问题的数值求解中。

二次特征值的数值求解问题出现在工程和物理许多应用领域，如结构力学中的动力分析、电信仿真、信号处理、微电子力学的建模、声波系统动力学分析等，是当今大规模科学与工程计算所遇到的挑战之一。在本项目中，我们将做如下研究工作：将研究二次特征值问题的线性化技术与广义特征值问题的数值求解方法结合起来，研究基于线性化技术的求解二次特征值问题的高效算法；通过对Krylov子空方法的研究，探索和选取适用于二次特征值投影算法的Krylov子空间，设计针对原问题的直接投影算法；利用二次特征值问题的特殊结构，改进现有的相关算法，设计出快速且稳定的保结构求解算法；在研究二次特征值问题的基础上，将相关理论成果及算法设计思想推广到多项式特征值问题的数值求解中。..本项目主要研究二次特征值问题的数值求解及算法的稳定性分析。由于二次特征值问题与矩阵方程的求解有着非常紧密的联系，因此本项目对几类特殊矩阵方程的数值求解问题也进行了大量深入的研究。..己取得的主要研究成果有：首先，针对一般二次特征值问题，在柏兆俊教授和苏仰峰教授给出的经典的SOAR方法的基础上，研究给出了两个改进型算法。由于SOAR方法的计算精度和收敛速度与所选的二阶Krylov子空间的选取有紧密的关系，因此我们通过改进二阶Krylov子空间，给出了两个算法并理论上证明了算法的收敛性。此外，通过数值算例验证了我们所给出的新的算法对有些算例会比SOAR方法要好，这也与理论发现吻合；其次，针对连续型Sylvester矩阵方程，我们给出了基于推广型HSS分裂的一个求解算法，同时还给出了一个预处理PSS迭代算法；第三，针对线性矩阵方程AXB=C，我们分别给出了基于HSS分裂和基于梯度迭代的两个有效求解算法；此外，还研究了一些当前数值代数领域的研究热点问题，如复线性系统的数值求解、线性互补问题以及鞍点问题等。项目在执行期间，共发表19篇SCI收录论文，其中二区期刊13篇，ESI高被引论文1篇。

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