基于Niho型指数的若干问题研究

The cryptographic functions are an important research topic in symmetric cryptography and this project mainly studies the nonlinear cryptographic functions with Niho-type exponents. Concretely, by using the property of Niho-type exponents and applying mathematical tools such as algebra, this project aims to explore new constructions of Niho-type Bent and semibent functions and Niho-type permutation polynomials with low differential property as well as to find new methods of computing the Walsh spectra of Niho-type functions with special forms. The objective of this project is to provide more nonlinear candidate functions for symmetric cryptography by constructing cryptographic functions with diverse parameters and excellent properties, and it is therefore of theoretical and practical significance.

密码函数是对称密码学中的一个重要研究内容，本项目主要研究具有Niho型指数的非线性密码函数。具体地，结合Niho型指数的特点，运用代数等工具研究Niho型Bent函数和半Bent函数的构造；探索Niho型低差分置换多项式的构造方法以及特殊形式Niho型函数Walsh谱值的新计算方法。通过对具有Niho型指数函数的研究以期望构造出参数多样、性能优良的密码函数，为对称密码提供更多可供选择的优良非线性部件候选函数。因此本项目具有重要的理论意义和实际价值。

密码函数包括布尔函数和向量布尔函数两大类，它是构成流密码、分组密码和Hash函数等密码算法的重要组成部件，其密码学性质很大程度上会影响整个密码系统的安全性。近年来，Niho型密码函数的研究吸引了人们的较大兴趣。本项目主要研究具有良好密码学性质的Niho型函数，包括Bent函数，低差分函数，置换和低谱值函数，并挖掘密码函数在序列设计与编码理论中新的应用。对于密码函数的设计，我们利用有限域上的二次型理论和处理方程的技巧发现了一类Niho型几乎半Bent函数；通过修改一个已知二次旋转对称Bent函数的支撑集我们提出了一个构造旋转对称Bent函数的一般方法，从而构造出了许多具有最大代数次数的旋转对称无限类Bent函数；基于迹函数乘积法，我们研究了一类p-元Bent函数的构造，给出了其为Bent函数的充要条件并深入研究了函数的Bent性质。我们深入研究了Niho型置换多项式和低差分函数的构造，成功设计出了特征2和特征5有限域上的多类Niho型置换三项式，并给出了特征2有限域上一类Niho型四项式是置换的充要条件以及确定了其差分性质；发现了一类4值Walsh谱的Niho型多项式函数并确定了其Walsh谱值分布。在密码函数应用方面，我们利用Niho型函数设计出了t-重量线性码，构造出了新的2-重量码、3-重量码和5-重量码；采用同样的思路，我们还运用完全非线性函数、弱正则Bent函数和向量Bent函数设计出了2-重量码和3-重量码，包括最优码。这些研究为新型密码函数的设计提供新的思路，有利于提炼新的密码分析方法，并有助于挖掘密码函数在序列编码中的新应用。

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