多响应线性模型试验设计的容许性、不变性和几何刻画

In an experiment often more than one dependent variable is observed for each observational unit. As typically observations are correlated within units, the data are properly described by a multiresponse linear model. Examples of this type of study are common in econometrics, social sciences, pharmacokinetics and pharmacodynamics. .This project aims at an efficient choice of the experimental conditions in order to optimize the performance of the statistical inference on the multiresponse linear model by the experimental data. The main topics of this project are as follows: (1) Study admissibility, invariance and complete classes; (2) Study geometric characterization of optimal designs; (3)Study the D-optimal designs for the Berman model and the spherical model; (4)Study the optimal designs for multiresponse linear models with mixed effects.

在经济学、社会学、工程学、药物动力学和药效学等科学研究中，经常需要对同一试验单元的多项指标进行观测，而试验条件(如因子的水平等)可由试验人员选取。由此获得的数据不仅包含每个指标的信息，还包含各指标间的关联信息，能很好的反映出单个指标的变化和各指标间的联系。多响应线性模型是对这类数据进行建模和分析的重要统计工具之一。迄今为止，有多响应线性模型最优设计与稳健设计的研究方兴未艾，有关的理论与方法还不能满足实际需求，迫切需要深入与完善。.本项目旨在通过提供科学的试验设计方法，获得优质高效的数据，从而提高统计建模的精度和数据分析的可靠度。本项目借鉴并发展经典回归模型最优设计的理论与方法，研究设计的容许性、不变性和完备类；研究最优设计的几何刻画；研究波曼模型和球面模型的D-最优设计；研究多响应线性混合效应模型的最优设计。本项目的研究成果可直接应用于具有多个响应指标的科学试验的设计工作.

最优试验设计作为认识世界探索未知的方法在诸多领域都有广泛的应用。在工程、制药、生物医学和环境科学等领域的研究中，经常需要对同一试验单元的多项指标进行观测。多响应线性模型是对这类数据进行建模和分析的重要工具。由于多个响应同时存在且相互关联，其最优设计问题较为复杂，研究成果寥寥无几。通常通过构造完备类来简化问题是求解最优设计的有效方法，而容许性和不变性是实现这一目的的重要工具。. 本项目研究多响应试验的最优设计问题。对于半相依模型，通过重建响应变量关于回归函数的表示形式建立了半相依模型试验的最优设计与单响应线性回归模型试验的最优设计之间的联系，给出了半相依模型试验容许设计的充要条件、不变设计的充分条件、D-最优设计和R-最优设计的几何刻画，简化了完备类的构造。对分层模型，给出了G-最优设计的等价性定理和启发式算法CSO，结果表明CSO是一种灵活有效的方法，可作为求解最优设计的理想工具。对于多群组线性混合效应模型，建立了c-最优设计和DA-最优设计的等价性定理，得到了多项式模型和分式阶多项式模型的最优设计。特别地，对于多因子试验，研究了最优设计支撑点的几何特征，并借助条件边际模型研究了容许设计的必要条件，给出了多因子试验中发生de la Garza现象的充要条件，显著降低了最优设计的求解难度。. 本项目的研究工作为构造半相依模型试验设计的完备类和探讨多因子情形下de la Garaz现象的存在性奠定了理论基础，为最优设计问题的简化、求解和验证提供了切实可行的方法。研究成果可直接应用于多响应试验，为试验设计工作提供理论参考和计算工具。

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