非局部算子的精细估计和双曲-抛物方程解的适定性

In this program, we consider the global existence for large perturbation problems of scalar conservation laws with nonlocal dissipative structures and some simple hyperbolic-parabolic systems or parabolic systems in multi-D. Those systems could always be converted into scalar equations with nonlocal dissipative structures after some proper transformations. Correspondingly, we also consider the blow-up for single equations in super-critical case. Additionally, pointwise estimates for systems in fluid mechanics with multi physical processes coupled under small perturbations are also studied, and the propagations and dissipative mechanisms are investigated through the pointwise estimates...The key issue in the study of those problems is the precise estimates for nonlocal operators, besides further understandings of the physical mechanisms and classical energy method and Green's function method. The precise estimate is obtained through combinations of ideas and techniques from microlocal analysis, harmonic analysis and elliptic equations. We make further investigations and improvements in the framework of estimates for pesudo-differential operators, para-differential operators and singular integral operators. Pointwise-like estimates are needed in the study and we wish to find individual precise estimate methods suitable for different nonlinear hyperbolic-parabolic equations to push the study of the above problems.

本项目考虑带非局部耗散结构的单个守恒律方程大扰动解的整体存在性，以及多维情形下某些简单的双曲-抛物耦合方程组或者抛物方程组的大扰动解的整体存在性，这些方程组通常可以通过适当变换转化为带非局部耗散结构的单个方程来研究。与此对应地，也考虑相应单个方程超过临界指标情形下大扰动解的爆破机理。另外，还考虑具多物理过程耦合的流体力学方程组小扰动情形下解的逐点估计，并通过逐点估计理解多场作用下各种波的传播和耗散机制。.这些问题的研究，除要加深对方程物理机制的理解和传统的能量估计和格林函数方法的挖掘外，其关键技术就是对非局部算子的精细估计。这需要融和微局部分析和调和分析的思想，借鉴椭圆方程研究中的成熟的精细估计技巧，在拟微分算子、仿微分算子和奇异积分算子的各种估计的框架下做新的探索和改进，要更侧重逐点意义下的估计，找到适合不同的非线性双曲-抛物方程的不同的精细分析办法，促进对以上问题的解决。

本项目考虑带非局部结构和耗散结构的非线性发展方程大扰动解的整体存在性，以及考虑具多物理过程耦合、流体方程和趋化方程耦合的非线性方程组小扰动情形下解的逐点估计，并通过逐点估计理解各种波的传播和耗散机制。后期还结合国际学术界近期的热门的研究课题，研究了在混合机制的耗散加强效应情形下，一些在流体环境下趋化模型大扰动解的整体存在性。在本项目研究中，除加深对方程物理机制的理解和传统的能量估计和格林函数方法的挖掘外，其关键技术就是对非局部算子的精细估计，本项目通过融和微局部分析和调和分析的思想，对非线性微局部分析的各种估计做出新的探索和改进，找到适合不同的非线性双曲-抛物方程的不同的精细分析办法。后期关于耗散加强效应情形下大扰动解的整体存在性的工作，主要是依赖非线性极值原理的估计，以及围绕RAGE引理进行系列关于相应算子的谱分析技术。.项目执行期共发表论文23篇，有多篇发表在JFA，JDE这些本领域的主流杂志。在项目执行期，培养毕业5名博士生，2名硕士。

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