算子代数交叉积中的若干问题

Crossed product is one of the most important methods to construct new operator algebras and plays a central role in the theory of operator algebras. Although the theory of crossed product C*-algebras has reached a certain maturity, the study of crossed product non-selfadjoint operator algebras is far from completion. In 2015, Katsoulis and Ramsey introduced and studied the crossed products of non-selfadjoint operator algebras. Their theory of crossed products of arbitrary operator algebras is not well understood and many questions are still waiting to be answered. . The major goal in our proposed research is to understand the structure of crossed products non-selfadjoint operator algebras. More specifically, we are interested in the Imai-Takai duality theorem, the imprimitivity property, and the Hao-Ng isomorphism problem for a locally compact group. In order to achieve this research goal, we will need to define the coation of a locally compact group, characterize the C*-covers and C*-envelopes of the induced algebras and uncover the relationship between the C*-envelopes of the induced algebras and the induced algebras of the C*-envelopes. We will also study the C*-envelopes and the maximal C*-covers of the crossed product operator algebras, and check whether the C*-envelope of the crossed product operator algebra is isomorphic to the crossed product of the C*-envelope.

交叉积是构造新算子代数最为重要的方法之一，也是算子代数理论中的重要研究对象。目前，C*-代数交叉积理论已经较为成熟，但非自伴算子代数交叉积的研究仍方兴未艾。Katsoulis和Ramsey于2015年引入了并研究了非自伴算子代数的交叉积。对于这种一般算子代数交叉积的研究仍处于初始阶段，有诸多问题还有待解决。. 本项目以研究非自伴算子代数交叉积的结构为中心课题。具体来说，我们着力于刻画局部紧群的Imai-Takai对偶性、imprimitivity性质、Hao-Ng同构等性质。为了达成目标，我们需要定义局部紧群的余作用，刻画导出代数的C*-覆盖和C*-包络，揭示导出代数的C*-包络与C*-包络的导出代数之间的关系。此外，交叉积的C*-包络和极大C*-覆盖、以及交叉积算子代数的C*-包络与C*-包络的交叉积之间的同构性也是我们计划研究的重要问题。

本项目以非自伴算子代数交叉积及相关算子代数中的问题为研究课题，拟为算子代数理论的研究提供新的对象和工具。. 项目组证明了当乘积系统由Morita等价双模构成时Cuntz-Pimsner代数在(gauge)余作用下的约化交叉积和乘积系统的系数C*-代数Morita等价，推广了经典的Baaj-Skandalis对偶定理；引入了拟格序群胚的概念，定义了拟格序群胚上的乘积系统；针对拟格序群胚上紧列的乘积系统，证明了Morita等价双模构成的Fell丛的全交叉截面C*-代数同构于由该Fell丛决定的紧列乘积系统的Cuntz-Nica-Pimsner代数。. 我们证明了无限的半有限因子中无限投影集合上保持转移概率的满射由该半有限因子的*-自同构或*-反自同构导出；证明了无限维Hilbert空间特定投影格上的L^2等距满射由一个酉算子或反酉算子导出；通过对有限因子中酉群上L^p等距满射的研究，刻画了半有限因子具有固定迹值投影的格拉斯曼空间上的L^p等距满射；证明了秩1幂等元集合上的L^p等距满射也是由一个酉算子或反酉算子所导出。. 我们证明了有限von Neumann代数和可分无限因子都是clean的，并刻画了强clean的von Neumann代数，回答了代数学家Lam于2005年提出的公开问题——“什么样的von Neumann代数作为环是clean的”；证明了von Neumann代数是几乎∗clean 的当且仅当它是有限的，von Neumann 代数是强clean的当且仅当它是有限I型von Neumann代数的有限直和，von Neumann代数是强∗clean的当且仅当它是交换von Neumann代数。. 我们给出了投影算子对联合谱的完全刻画，证明了矩阵代数中压缩任意两个投影联合谱的映射当且仅当其保持任意投影对的联合谱，并证明了此类映射是由复数域上的环自同构所导出，压缩或保持任意k（大于2）个投影的联合谱的映射是由一个酉算子或反酉算子导出。

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