组合恒等式的研究

By means of classical analytic method and combinatorial computational technique, this project investigates some combinatorial identities about q-series, hypergeometric series and classical combinatorial sequences.. Q-series and hypergeometric series are two important research branches of special function, which has widely been used in combinatorial mathematics, theory of partitions, number theory, theoretical physics. The main problem is how to establish identities of q-series and hypergeometric series. As far as I know, we can apply analysis method, algebraic method, combination method and so on. We will systematically study the analysis method and establish and obtain some q-series and hypergeometric series identities through further applications of the modified Abel lemma on summation by parts, inversion and transformation formulae and combinatorial technique.. Furthermore, classical combinatorial sequences has been a hot topic in the field of combinatorics. Many discrete mathematics problems have close relationship with combinatorial sequences. In recent years, the identities of combinatorial sequences play an important role in the development of analytic and algebraic combinatorics. We will establish numerous identities of combinatorial sequences by classical analytic method and combinatorial computational technique.

本项目主要利用经典分析方法和组合计算技巧研究涉及q-级数，超几何级数与经典组合序列的组合恒等式。. q-级数与超几何级数是特殊函数理论中的两个重要分支，在组合数学、分拆理论、数论以及理论物理中具有广泛的应用。关于两类级数的一个核心问题是众多恒等式的证明，目前有分析方法、代数方法、组合方法等等。我们将系统的研究分析方法，并利用改进的Abel 方法、反演变换与组合技巧，发现和证明一系列涉及q-级数与超几何级数的恒等式。 . 此外，经典组合序列一直是组合学界的热门课题之一，众多离散数学问题的解决都与组合序列函数有着紧密的关系。近年来，组合序列的恒等式在分析组合学和代数组合学的发展中起到了重要作用。本项目将结合分析方法与组合计算技巧，证明大量有关组合序列的恒等式。

q-级数与超几何级数是特殊函数理论中的两个重要分支，在组合数学、分拆理论、数论以及理论物理中具有广泛的应用。关于两类级数的一个核心问题是众多恒等式的证明，目前有分析方法、代数方法、组合方法等等。本项目主要利用组合计算技巧和经典分析方法研究涉及q-级数与超几何级数的组合恒等式。包括以下两个方面：1.利用q-导数算子和部分分式分解方法研究两类带有三个自由参数的q-二项式变换公式，从而得到几个重要的二项式求和公式的q-模拟；2.利用Abel分部求和引理研究二次超几何级数部分和，给出几个不同寻常的变换公式，进一步证明了一些新的二次级数变换公式。

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