Gross-Pitaevskii方程驻波解及其相关的非线性椭圆问题

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AI项目解读

基本信息

  • 批准号：
    11471331
  • 项目类别：
    面上项目
  • 资助金额：
    72.0万
  • 负责人：
    周焕松
  • 依托单位：
    武汉理工大学
  • 学科分类：
    A0304.椭圆与抛物型方程
  • 结题年份：
    2018
  • 批准年份：
    2014
  • 项目状态：
    已结题
  • 起止时间：
    2015-01-01 至2018-12-31

项目摘要

The experimental and theoretical study of Bose-Einstein Condensation (BEC) and related macroscopic quantum states is becoming a frontier field of modern physics. Gross-Pitaevskii (GP) equation is a basic model of describing BEC phenomena, which plays an important role in understanding theoretically the BECs. So, much attention has been paid to the mathematical study of GP equations. There are many nonlinear elliptic problems appeared in the study of standing waves of GP equations and related topics. This project are mainly concerned with the GP equations and related nonlinear elliptic problems corresponding to several typical kinds of BECs and we try to learn the relationship between the properties of solutions of GP equations and the behaviors of BECs. We plan to study first the existence and properties of standing waves of the GP equation associated to an attractive BEC in a ring-shaped trap, and its applications to general elliptic equations; Next, we consider the system of GP equations arising in two components BEC, and try to establish a criterion for the existence of solution for the system and give some detailed analysis for the behavior of the solutions; Then, we want to prove some Liouville type theorems , for the stable solutions as well as the solutions with finite Morse index, of the system of GP equations with growth of Sobolev critical exponent; Finally, we turn to studying the standing waves solutions and their properties of some type of fractional GP equations.
原子玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)相关的宏观量子态实验和理论研究已成为现代物理学的重要前沿领域。Gross-Pitaevskii (GP)方程是描述BEC现象的基本模型，是从理论上严格分析各种BEC现象的基础。因此，GP方程的数学研究也自然成为人们关注的热点问题。GP方程的驻波解及其相关的研究中涉及大量的非线性椭圆型方程问题。本项目将围绕几类典型的BEC现象所对应的GP方程来开展相关的椭圆型方程的数学研究,探讨方程解的特性与物理现象的对应关系。拟研究的内容包括：吸引力下环形BEC对应的GP方程驻波解的性态分析以及相关结果对一般椭圆问题（如p-Laplace方程）的应用；双组分BEC对应的GP方程组驻波解的存在性准则、解的集中或爆破行为分析；超Sobolev临界增长的GP方程组解的非存在性如稳定解和有限Morse指标解的Liouville型定理；此外，还将研究分数阶GP方程的稳态解及其相关问题

结项摘要

Gross-Pitaevskii (GP)方程是描述玻色-爱因斯坦凝聚(BEC) 现象的基本模型，对GP方程进行数学理论研究，不仅有助于理解和分析物理实验中出现的BEC 现象，而且还可以从理论上预测新的BEC现象。本项目围绕GP方程(组)及其一般形式的方程即非线性Schrodinger（NLS）方程以及与之相关的非线性椭圆型方程开展了系统深入的研究。.对于二维空间（2D）中吸引相互作用下BEC所对应的单个GP方程，利用约束变分极小化思想，通过分析解的梯度性质，再结合相应极限方程解的特性，我们给出了带有一般深阱位势的GP方程基态解的渐近性质。并且，针对某些典型深阱位势（如：势阱底部为有限个点、或为圆环/椭圆环、或为有限个有界区域等）下的质量临界GP方程, 我们通过新的能量估计技巧，建立了基态解能量的精细估计，进而给出了基态解的最佳爆破率以及爆破点的可能位置，并对解的唯一性、对称性等性质进行了讨论。相关论文发表不久就被列入ESI高被引论文，还有部分结果获得了湖北省自然科学二等奖。基于2D单个GP方程（Laplace算子）的研究，我们还研究了多维空间中的p-Laplace型GP方程，通过分析p-Laplace算子相应的Gagliardo–Nirenberg不等式的达到函数与相应极限方程基态解以及与极限方程在特定范数下的解的关联，有效地避免了p-Laplace极限方程唯一性尚不清楚的困难，成功建立了p-Laplace型质量临界的GP方程Lp约束基态解的最优能量估计和精确的渐近性态。.关于双组份BEC对应的GP方程组，我们研究了(I)：组份内和组份间均为吸引相互作用以及(II)：组份内为吸引而组份间为排斥相互作用的GP方程组约束极小能量解与性质。我们的结果表明，情形(I)下的GP方程组，其组份内和组份间的吸引相互作用参数会共同影响解的存在性、唯一性以及解渐近行为；而情形(II)下的GP方程组，只有组份内的吸引相互作用参数会影响GP方程组解的存在性和渐近行为。并且，我们在多项式位势下分别建立了两种情形下GP方程组约束极小能量的最优估计以及解的渐近行为。对于带一般幂次位势（含负幂次）的GP方程组， 我们研究了解的存在性和稳定性。.此外，我们还开展了约束变分极小化方法在核磁医学图像中的应用以及相关偏微分方程的数值模拟和计算等方面的应用研究。

项目成果

期刊论文数量（19）
专著数量（0）
科研奖励数量（1）
会议论文数量（0）
专利数量（0）
Energy estimates and symmetry breaking in attractive Bose-Einstein condensates with ring-shaped potentials
具有环形势的有吸引力的玻色-爱因斯坦凝聚体的能量估计和对称性破缺
  • DOI：
    10.1016/j.anihpc.2015.01.005
  • 发表时间：
    2014-06
  • 期刊：
    ANNALES DE L INSTITUT HENRI POINCARE-ANALYSE NON LINEAIRE
  • 影响因子：
    1.9
  • 作者：
    Yujin Guo;Xiaoyu Zeng;Huan-Song Zhou
  • 通讯作者：
    Huan-Song Zhou
A constrained variational problem arising in attractive Bose-Einstein condensate with ellipse-shaped potential
具有椭圆形势的有吸引力的玻色-爱因斯坦凝聚体中出现的受约束变分问题
  • DOI：
    10.1016/j.aml.2018
  • 发表时间：
    2019
  • 期刊：
    APPLIED MATHEMATICS LETTERS
  • 影响因子：
    3.7
  • 作者：
    Guo Helin;Zhou Huan-Song
  • 通讯作者：
    Zhou Huan-Song
BLOW-UP SOLUTIONS FOR A KIRCHHOFF TYPE ELLIPTIC EQUATION WITH TRAPPING POTENTIAL
具有俘获势的基尔霍夫型椭圆方程的放大解
  • DOI：
    10.3934/cpaa.2018089
  • 发表时间：
    2018
  • 期刊：
    COMMUNICATIONS ON PURE AND APPLIED ANALYSIS
  • 影响因子：
    1
  • 作者：
    Guo Helin;Zhang Yimin;Zhou Huansong
  • 通讯作者：
    Zhou Huansong
Asymptotic properties of standing waves for mass subcritical nonlinear Schrödinger equations
质量亚临界非线性薛定谔方程驻波的渐近性质
  • DOI：
    10.3934/dcds.2017073
  • 发表时间：
    2016-12
  • 期刊：
    Discrete Contin. Dyn. Syst.
  • 影响因子：
    --
  • 作者：
    Xiaoyu Zeng
  • 通讯作者：
    Xiaoyu Zeng
A VARIATIONAL MODEL WITH FRACTIONAL-ORDER REGULARIZATION TERM ARISING IN REGISTRATION OF DIFFUSION TENSOR IMAGE
扩散张量图像配准中产生的带分数阶正则项的变分模型
  • DOI：
    10.3934/ipi.2018053
  • 发表时间：
    2018
  • 期刊：
    INVERSE PROBLEMS AND IMAGING
  • 影响因子：
    1.3
  • 作者：
    Han Huan
  • 通讯作者：
    Han Huan

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其他文献

Solutions for a quasilinear elliptic equations with critical Sobolev exponent and perturbations on R(N)
具有临界 Sobolev 指数和 R(N) 扰动的拟线性椭圆方程的解
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  • 发表时间：
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  • 期刊：
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  • 影响因子：
    1.4
  • 作者：
    周焕松
  • 通讯作者：
    周焕松
含有库伦位势的Schrodinger-Poisson-Slater方程组多解的存在性
  • DOI：
    --
  • 发表时间：
    2014
  • 期刊：
    中国科学 数学(英文版)
  • 影响因子：
    --
  • 作者：
    蒋永生;周焕松
  • 通讯作者：
    周焕松
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渐近线性狄利克雷问题的存在性
  • DOI：
    --
  • 发表时间：
    --
  • 期刊：
    Nonlinear Anal.TMA
  • 影响因子：
    --
  • 作者：
    周焕松
  • 通讯作者：
    周焕松
Asymptotically "linear" Dirichlet problem for p-Laplacian
p-拉普拉斯的渐近“线性”狄利克雷问题
  • DOI：
    --
  • 发表时间：
    --
  • 期刊：
    Nonlinear Analysis TMA
  • 影响因子：
    --
  • 作者：
    李工宝;周焕松
  • 通讯作者：
    周焕松
Multiple solutions for a nonhomogeneous Schrodinger-Maxwell system in R^3
R^3 中非齐次薛定谔-麦克斯韦系统的多种解
  • DOI：
    10.1016/j.na.2013.01.006
  • 发表时间：
    2012-04
  • 期刊：
    Nonlinear Analysis，T.M.A
  • 影响因子：
    --
  • 作者：
    蒋永生;王征平;周焕松
  • 通讯作者：
    周焕松

其他文献

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周焕松的其他基金

数学物理中的非线性椭圆型方程研究
  • 批准号：
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    2019
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    面上项目

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课题项目：调控A型流感病毒诱导IFN-β表达的机制研究

AI项目摘要：

本研究聚焦于TRIM2蛋白在A型流感病毒诱导的IFN-β表达中的调控机制。A型流感病毒是全球性健康问题，其感染可导致严重的呼吸道疾病。IFN-β作为关键的抗病毒因子，其表达水平对抗病毒防御至关重要。然而，TRIM2如何调控IFN-β的表达尚未明确。本研究假设TRIM2通过与病毒RNA或宿主因子相互作用，影响IFN-β的产生。我们将采用分子生物学、细胞生物学和免疫学方法，探索TRIM2与A型流感病毒诱导IFN-β表达的关系。预期结果将揭示TRIM2在抗病毒免疫反应中的作用，为开发新的抗病毒策略提供理论基础。该研究对理解宿主抗病毒机制具有重要科学意义，并可能对临床治疗流感病毒感染提供新的视角。

AI项目思路：

科学问题：TRIM2如何调控A型流感病毒诱导的IFN-β表达？
前期研究：已有研究表明TRIM2参与抗病毒反应，但其具体机制尚不明确。
研究创新点：本研究将深入探讨TRIM2在IFN-β表达中的直接作用机制。
技术路线：包括病毒学、分子生物学、细胞培养和免疫检测技术。
关键技术：TRIM2与病毒RNA的相互作用分析，IFN-β启动子活性检测。
实验模型：使用A型流感病毒感染的细胞模型进行研究。

AI技术路线图

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          A[研究起始] --> B[文献回顾与假设提出]
          B --> C[实验设计与方法学准备]
          C --> D[A型流感病毒感染模型建立]
          D --> E[TRIM2与病毒RNA相互作用分析]
          E --> F[TRIM2对IFN-β启动子活性的影响]
          F --> G[IFN-β表达水平测定]
          G --> H[TRIM2功能丧失与获得研究]
          H --> I[数据收集与分析]
          I --> J[结果解释与科学验证]
          J --> K[研究结论与未来方向]
          K --> L[研究结束]
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