基于凸分析理论的投资受限环境下的金融问题

We plan to investigate, in the case of economic model uncertainty, how to use the method of convex analysis to analyze and avoid the possible risks when individuals and institutional investors make their investment decisions. In order to deal with the risk of the model uncertainty, the optimal portfolio selection depends on both of maximizing the investment income and minimizing the risk. The nonlinear expectation theory proposed by Peng (g-expectation and G-expectation) and the coherent risk measure proposed by Artzner et. al. are employed to construct our mathematical framework, where the nonlinear expectation is used as the return function and the coherent risk measure as the utility function. In the incomplete market where its investment combinations are constrained, we obtain the maximization of investment income while avoid the risk. Furthermore, we are also intrested in extending the Minimax theorem into the case without the compact assumption. In the end, we use results of the convex analysis theory and the finite additive measure theory to study the hypothesis testing problem of nonlinear expectations.

本项目探讨在经济模型具有不确定性的情况下，如何运用凸分析的方法，使个人和机构投资者在做投资决策时能够避免可能出现的风险。为了应对模型的不确定性带来的风险，在进行最优投资组合选择时，需要将投资收益的最大化与风险的最小化统筹考虑。本项目以彭实戈教授提出的非线性期望理论（g-期望和G-期望）、Artzner等人提出的一致性风险测度理论为基础，以非线性期望作为收益函数，以一致风险测度作为风险函数建立数学模型，得到在投资组合受限的不完备市场中，如何在规避风险的同时实现投资收益的最大化。另外，如何推广Minimax定理到没有紧性假设的情况也是本项目关心的问题。最后，申请者还利用凸分析理论和有限可加测度理论里的结果，研究了非线性期望下的假设检验问题。

在投资受限的金融市场，如何选择投资策略使投资收益达到最大化是金融数学研究的热点方向之一。在研究该问题的过程中，使用的核心数学工具之一是统计学里的Neyman-Pearson基本引理。申请人在本项目的资助下，得到了凸风险测度下的Neyman-Pearson引理。该结果推广了美国哥伦比亚大学Karatzas教授的结果，为后续金融市场的最优投资策略选则问题的研究奠定了理论基础。. Minimax定理是凸分析领域里的一个重要结果，在优化理论、金融数学和博弈论等方面有很多的应用。经典的Minimax定理需要紧性的假设条件，而很多实际问题并不满足这个条件。在本项目的资助下，我们将已有的Minimax定理推广到非紧的情况，为该定理进一步的应用提供了理论基础。. 另外，在该项目资助下，我们研究了关于Lp(p>2)空间的最小二乘估计问题，并以结果为理论基础，继续研究了非线性滤波问题，该结果推广了经典Kalman-Bucy滤波的结果，为更一般的非线性期望下滤波问题的研究提供了新的研究思路。

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