准周期薛定谔算子谱理论的动力系统方法

The quasi-periodic Schrodinger operator has strong backgrounds in quasicrystal and quantum Hall effect. The complexity of its potential lies between the priodicity and the randomness, thus has rich spectral phenomena. The spectrum and the spectral measure of the operator have concrete physical meanings, and thus a typical and important subject in mathematical physics. This project will study the Cantor spectrum problem, homogeneous of the spectrum, spectral gaps, regularity of IDS, Anderson localization and dynamical localization.. The eigenvalue equations of one-dimensional quasi-periodic Schrodinger operators naturally define a family of dynamical systems. Full understanding of this family of dynamical systems will leads to a full understanding of the corresponding operator. The project will study the above spectral problem by reducibility theory in dynamical systems. The key points include reducing the spectral problems to reducibility problems and developing methods to solve the related reducibility problems.

准周期薛定谔算子是准晶和整数量子霍尔效应的数学模型，其位势的复杂程度介于周期和随机之间，谱现象非常丰富。准周期薛定谔算子的谱集，谱测度等都有明确的物理意义，因此准周期薛定谔算子谱理论是一个典型且重要的数学物理研究方向并吸引了许多一流数学家。本项目拟研究相关算子的Cantor谱问题，谱的齐次性，谱gap估计，积分态密度的正则性，Anderson局域化，动力学局域化等问题。. 一维准周期薛定谔算子的特征方程自然地定义了一族动力系统，高维薛定谔算子也可以通过Aubry对偶得到一族动力系统。如果把这族动力系统完全研究清楚了，那么相应算子的所有性质就研究清楚了。项目拟通过动力系统中的几乎可约性理论来研究上述问题。拟解决的关键技术问题包括两方面：一是将谱问题转化为合适的动力系统问题，二是发展方法解决这些动力系统问题，其核心是处理由小除数引起的共振。

准周期薛定谔算子是准晶和整数量子霍尔效应的数学模型，其位势的复杂程度介于周期和随机之间，谱现象非常丰富。准周期薛定谔算子的谱集，谱测度等都有明确的物理意义，因此准周期薛定谔算子谱理论是一个典型且重要的数学物理研究方向并吸引了许多一流数学家。本项目拟研究相关算子的Cantor谱问题，谱的齐次性，谱gap估计，积分态密度的正则性，Anderson局域化，动力学局域化等问题。. 一维准周期薛定谔算子的特征方程自然地定义了一族动力系统，高维薛定谔算子也可以通过Aubry对偶得到一族动力系统。如果把这族动力系统完全研究清楚了，那么相应算子的所有性质就研究清楚了。项目拟通过动力系统中的几乎可约性理论来研究上述问题。拟解决的关键技术问题包括两方面：一是将谱问题转化为合适的动力系统问题，二是发展方法解决这些动力系统问题，其核心是处理由小除数引起的共振。. 本项目在Cantor谱问题，谱的齐次性，谱gap估计，积分态密度的正则性，Anderson局域化，动力学局域化等问题上取得了一系列重要的结果，在Ann. ENS, GAFA, CMP, Adv. Math, Math Z, PRL, Science China, Peking Math Journal上已发表标注基金资助的论文8篇，另外多篇标注基金资助的文章正在投稿过程中，其中有一些非常好的结果。所得成果产生了重要的国际影响，例如一些成果被Jitomirskaya的ICM一小时大会报告评价为“breakthrough”， “remarkable”。

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