最优变重量光正交签名码的构造

To support high-speed multiple access network applications, especially image applications, Kitayama first introduced optical orthogonal signature pattern code (OOSPC for short) to set a novel type of optical code-division multiple-access (OCDMA) network，namely， spatial OCDMA network. An OOSPC is a family of (0, 1) matrices with good auto and cross-correlation, and OOSPC is the key address code for spatial OCDMA network. The study of OOSPC is a very important problem. The number of code words of an OOSPC is equal to the number of users of the spatial OCDMA network, and hence it is an important parameter. In this proposal, we mainly study variable-weight OOSPCs with the following problems: (1)Find the upper bound for an （m×n，W,λ,Q）–OOSPC，and present systematic constructions for optimal （m×n，W,1,Q）–OOSPCs；（2）Construct several infinite classes of optimal （m×n，W,2,Q）–OOSPCs ；（3）For OOSPCs with patial (or all) auto-correlation parameters 2,3, and cross-correlation parameter 1, give the upper bound for the code, and obtain systematic constructions for such codes.

为支持高速多址网络中二维图像的传输, Kitayama 首次引入光正交签名码(简记为OOSPC) 构建新的光码分多址网络（称为空间光码分多址网络，简记为Spatial OCDMA 网络）。光正交签名码是一族具有良好自相关和互相关性的(0,1)-矩阵,是Spatial OCDMA 网络的首选光地址码, 其研究已引起众多学者的关注，是光正交码研究的热点和难点问题。OOSPC 码的码字个数对应于系统的用户数，因此是一个重要参数。本项目主要研究变重量OOSPC, 涉及以下问题：（1）研究（m×n，W,λ,Q）–OOSPC的码字个数上界，系统构造最优（m×n，W,1,Q）–OOSPCs；（2）构造最优（m×n，W,2,Q）–OOSPCs 的尽可能多的无穷类；（3）对部分或全部自相关系数为2，3，互相关系数为1的OOSPC，给出码字个数上界，系统构造相应的OOSPC。

本项目主要研究以下内容：1.平衡最优（m，n，W，1）-OOSPC的构造；2.自相关数不全为1的变重量光正交码(OOC)的构造；3.Decomposable超单（准）可分解平衡不完全区组设计（NRBIBD，RBIBD）的存在性；4.具有特殊性质的对角有序幻方的构造；5. 均匀设计和准差族的构造；6.局部修复码和具有高效追踪性的多媒体父辈认证码的构造。对奇数 u>=1，v>=1：①得到了最优平衡（m，n，{4，5}，1）-OOSPCs 的存在性，其中（m，n）=（2u,16v）,(4u,8v)； ②得到了最优平衡（2u，38v，{3，4，5}，1）-OOSPCs 的存在性。 对W={3,4,5} , 某些自相关数向量组Λa不全为1,得到了（n，W，Λa，1，Q）-OOCs 码字个数的紧的上界，构造了多类最优（n， W，Λa，1，Q）-OOCs。 彻底解决了Decomposable超单（v,4,6）-NRBIBDs的存在性；除4个可能例外值v= 268, 284, 292,296，彻底解决了Decomposable 超单 （v,4,6）-RBIBDs的存在性。彻底解决了非基本有理对称对角有序幻方和无理对称对角有序幻方的存在性。利用某些组合设计，构造了多类新的均匀设计；利用分圆数构造了10类准差族。利用相关组合设计，构造了多类最优局部修复码，其每个修复集大小最多为3；利用概率方法得到了q-元强多媒体父辈认证码（t-SMIPPCs）的渐近最优下界，构造了多类长度为2的最优q-元 2-SMIPPCs。. 本项目共完成论文14篇，已发表12篇，其中SCI 源刊 11篇，国内核心期刊1篇。培养硕士生6人，全部获得硕士学位毕业;培养青年教师7人从事组合数学及其应用研究，其中3人获得国家自然科学基金青年基金资助。

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