各向异性随机场与随机偏微分方程的几何性质及其应用

As many data sets from various areas have anisotropic nature in the sense that they have different geometric and probabilistic characteristics along different directions, scholars from many different disciplines have been applying anisotropic random fields as more realistic models. A lot of such anisotropic random fields share some common features yet have their unique properties. How to effectively study these anisotropic random fields with far richer nature has become an international frontier issue, which is important both theoretically and in applications. This project intends to study the probabilistic, geometric and asymptotic properties for anisotropic random fields, pointwise Holder exponent random fields and solutions of stochastic partial differential equations. We plan to explore the natural connections among them, to obtain some general critera in studying their shared features, and to further construct some of the anisotropic random fields with designed sample path properties for modeling real world spatial-temporal data sets. For some unsolved problems, we will use recently developed research results and methods (such as Malliavin calculus, wavelet analysis, etc.) in our study. We hope to establish new results and/or substantially improve the existing results for anisotropic random fields to serve as an effective theoretical foundation for the widely used spatial-temporal models. As a meaningful exploration, we expect our findings, in particular in random fractal theory, can help transferring the research of nonlinear property of multi-particle final states in high energy collisions from qualitative analysis to quantitative analysis.

随着来自许多领域的数据沿着各个不同的方向有着不同的几何和概率特征，许多学者开始应用各向异性随机场作为更真实随机模型。如何深入研究这类具有更加丰富特征的各向异性随机场的独特性质和共同特性，是国际性的前沿问题，具有重要的理论意义和应用价值。本项目将采取多种场合交叉复合的研究手法，探讨各向异性随机场、各点异性随机场与随机偏微分方程解的概率、几何和渐近性质，探索这些随机场之间的内在本质的联系和一般条件准则，探寻时空模型中的各向异性随机场的构造及其轨道的渐近性质。针对若干尚未解决的问题，利用处理随机场方面的前沿结果和研究方法（如马利亚万分析、小波分析等），以获取有关各向异性随机场方面新的结果或者在实质上改进已有的结果，为发展或者完善应用广泛的时空模型提供有效的理论依据。高能碰撞中多粒子末态的非线性特征由定性分析进入到定量研究是一个有重要意义的变化，本项目将利用随机分形理论在这方面做些探索。

随着来自许多领域的数据沿着各个不同的方向有着不同的几何和概率特征，许多学者应用各向异性随机场作为更真实随机模型。如何深入研究这类具有更加丰富特征的各向异性随机场的独特性质和共同特性，是国际性的前沿问题，具有重要的理论意义和应用价值。. 本项目采取多种场合交叉复合的研究手法，探讨了各向异性随机场、各点异性随机场与随机偏微分方程解的概率、几何和渐近性质，研究了随机场之间的内在本质的联系和一般条件准则，讨论了各向异性随机场的构造及其轨道的渐近性质。针对若干尚未解决的公开问题，我们利用随机场的前沿结果和研究方法得到了各向异性随机场方面的一些新结果，发展了较为系统的研究各向异性、逐点异性的随机场和具有各向异性的随机偏微分方程样本轨道性质的新方法，为发展或者完善应用广泛的时空模型提供了有效的理论依据。. 课题组通过四年的研究，得到了较为系统的结果。. 采用不对称维数和随机测度的方法研究了满足一般条件的各项异性随机场的相交性、极集和极函数，得到了其相交概率，相交集合的Hausdorff和Packing维数，解决了LeGall提出的关于布朗运动的非极、连续Holder函数存在性问题。我们还将结果推广到非高斯和分量相依的情形。. 研究了具有各点异性的调和型多重分数布朗运动轨道的性质，得到了其碰撞概率、局部时和极集存在的充要条件，同时也给出了由其产生的随机集的Hausdorff和Packing维数与测度，其结论解决并推广了肖益民教授提出的关于布朗单极集的维数问题。这些结果可以应用到分数布朗单及时空高斯噪声驱动的随机偏微分方程解。 . 采用Malliavin变分法研究了高斯随机场局部时和自相交局部时在Meyer-Watanabe意义下的光滑性和存在性问题。这些结果不但推广了现有的结果，而且把现有的结果统一到同一框架下。. 课题组还对非退化扩散过程样本轨道的性质，广义连续时间随机游走的scaling极限，变化环境中分枝过程的收敛性等问题进行了研究。 课题组成员也结合各自研究特点研究了随机过程和随机分形在数理模型、保险精算和风险管理中的应用。

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