动力系统的随机小扰动

This project will establish the internal connection between deterministic dynamical systems and their small stochastic perturbation in an abstract framework. It will be proved that any weakly converging limit measure for a sequence of stationary measues of a stochastic perturbed system is an invariant measure, which supports in the Birkhoff center for the deterministic dynamical system. For stochastic approximation algorithms and various stochastic evolution systems, including stochastic ordinary differential equations、 stochastic partial differential equations and stochastic functional differential equations driven by Brownian motion or Levy process, probability convergence will be checked by Ito formula or uniform integrability for martingale difference sequence. A series of criteria for the existence of stationary measures and their tightness will be presented for respective stochastic evolution systems. Thus the abstract result can be applied to these systems. Combining this result and the Freidlin and Wentzell theory, we will investigate which stable equilibrium or periodic orbit is the most stable for monotone dynamical systems or Morse-Smale systems. Based this result and the Kifer-Bakhtin theory, we will provide a new class of stationary measure convergece and its mode: the Dirac measure at saddle is stochastically stable for nondegenerate white noise perturbation.

这个项目将在抽象的框架下奠定确定性动力系统与其随机小扰动系统之间的内在联系。 首先， 在概率收敛的假设之下， 证明：当噪声强度趋于零时， 扰动系统的平稳测度列的弱收敛极限是确定性系统的不变测度， 它支撑于其Birkhoff中心。 对各类随机演化方程, 或随机逼近算法， 包括随机常微分方程、随机偏微分方程和随机泛函微分方程， 利用Ito公式， 或鞅差序列的一致可积性， 各自证明概率收敛性， 并分别提供其平稳测度的存在性和胎紧性判别准则。因此， 抽象结果适用于这些具体系统。接着， 结合这一抽象结果和Freidlin and Wentzell理论， 对单调动力系统和Morse-Smale系统， 研究哪个稳定的平衡点或周期轨道是最稳定的。 最后， 结合这一抽象结果和 Kifer及 Bakhtin理论，我们将提供平稳测度新的收敛类型和模式： 鞍点的Dirac测度在非退化白噪声扰动下是随机稳定的。

这一项目试图揭示确定性动力系统和其随机小扰动之间的内在联系。对Polish空间上任一确定性动力系统， 在随机小扰动之下， 我们证明了平稳测度的弱*-极限是该确定性动力系统的不变测度， 它们的支撑包含在该确定性动力系统的Birkhoff中心之中。 这一一般性结果可以应用于由布朗运动和Levy过程驱动随机常微分方程、随机偏微分方程、随机泛函微分方程和鞅差序列驱动的马尔可夫链。 通过平面Morse-Smale 系统和具有鞍点环的两类系统随机扰动的研究， 我们发现： 对于结构稳定系统随机扰动的随机稳定集是Liapunov稳定的奇点或周期轨道； 而对于具有鞍点环随机扰动系统的随机稳定集是鞍点集， 两者有明显的区别， 前者是Liapunov稳定的，而后者不是Liapunov稳定的。 我们还对三类随机系统进行了深入的研究：发现了随机 LV 系统解的分解公式， 证明了当 Rayleigh 数和 Taylor 数都超过其临界值时，拉回轨道趋于随机异宿环； 平均占有测度的弱*-极限有无限多个， 它们是三个轴上平稳测度的凸组合，证实了随机扰动之下 Busse 型湍流依然存在；建立了离散时间的随机SIS和SIR模型, 利用大偏差工具研究其拟平稳测度的极限测度集中和平均熄灭时间；对于乘法噪声驱动的反馈控制系统，证明系统有唯一全局稳定的非平凡随机平衡点。

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