几类周期反应扩散方程空间动力学研究

In this project, we will study some reaction-diffusion equations arising from ecology and epidemiology. Some coefficients of these equations are time periodic and spatially inhomogeneous, which are mainly induced by seasonality and spatially inhomogeneous environment. We will consider the dynamics of single population model, two competitive population model in river, and cholera epidemic model with two transmission pathways. For the single population model and epidemic model, we mainly investigate the stability of zero or disease-free equilibrium, the existence of positive periodic steady states, and the uniform persistence of populations. For the two population competition model, we mainly consider the existence and stability of semi-trivial periodic and nontrivial positive periodic solutions. If the system admits monostable structure, we will further determine the existence of spreading speeds and time-space periodic traveling waves. We will appeal to theories for dynamical systems, periodic parabolic equations, and functional analysis to analyze the dynamics of models. We will develop new mathematical ideas and techniques to overcome the difficulties of equation analysis in spatiotemporally inhomogeneous environment. We hope we can further develop the existing theories for the analysis of periodic reaction-diffusion equations. Moreover, we hope we can reveal the effect of time periodicity and spatial inhomogeneity on the population evolution, competition and disease transmission, which has great implications for the population protection and disease control.

本项目拟研究几类来源于生态学和传染病学的反应扩散方程(组)。这些方程具有时间周期、空间非齐次的系数。时空非齐次系数是由季节周期变化和空间环境非均匀引起的。研究对象主要包括河流中单个物种的反应扩散模型、两个物种的竞争模型和具有两种传播途径的霍乱传染病模型。对于单个物种和传染病模型，我们将研究方程零或无病平衡点的稳定性、正周期平衡态的存在性和解的一致持久性等动力学行为。对于两个种群的竞争模型，我们将主要研究方程组半平凡周期解、非平凡正周期解的存在性和稳定性，以及时空周期行波解和传播速度的存在性。在综合利用动力系统理论、周期抛物方程理论和泛函分析理论基础上，我们将发展新的数学方法和技巧来克服时空非齐次系数给模型分析带来的困难，从而进一步丰富现有的周期反应扩散方程理论。另外，我们希望揭示时间周期和空间非均匀对单个物种演化、两个物种竞争和疾病传播带来的影响，从而为物种的保护和疾病的控制提供理论依据。

本项目主要研究了几类来源于生态学或传染病学的反应扩散方程组的空间动力学。对空间非均匀环境下的反应扩散霍乱传染病模型，我们主要研究了系统在有界区域上的阈值动力学和无界区域上的传播动力学，主要包括系统的基本再生数，行波解及最小波速的存在性；对具有多传播途径的SIR-B反应扩散传染病模型, 通过构造系统合适的上下解，我们证明了行波解及最小波速的存在性；对均匀环境和周期环境下一类成年-幼年种群模型，我们定义了种群的空间传播速度，并利用数值模拟结果刻画了系统的关键参数对种群空间传播速度的影响；对反应扩散poineer-climax系统, 在单调和非单调情况下，我们确定了系统传播速度和行波解的存在性，并给出最小波速线性确定的条件，我们的研究结果将目前相关工作推广到非单调情形和更一般的适应函数；对抽象框架下的单调半流双稳行波解唯一性和稳定性，利用单调动力系统理论，我们确定了离散和连续半流双稳行波解唯一性和稳定性的一般性结果，并将结果推广到周期单调半流情形。

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