求解与时间相关的反问题的区域分解方法

Mathematically ill-posed inverse problems arise widely from many areas of applications and mathematics, and one of the most stable and effective approaches to solve the ill-posed inverse problems is to transform them into stabilized output least-squares minimizations with some Tikhonov regularizations. Therefore inverse problems are usually much more challenging to solve numerically than direct problems. Domain decomposition methods (DDMs) have been proved to be one of the most natural and successful methodologies to design efficient numerical solvers for large-scale direct problems on high performance supercomputers. But little mathematical and numerical studies have been done in the literature on how to effectively solve the stabilized minimization systems of inverse problems. In this proposal we would like to propose several new overlapping domain decomposition algorithms for solving some important time-dependent inverse problems, and analyze the convergence of the DDMs. These algorithms will meet the true spirits of DDMs, namely they are iterative procedures for solving the stabilized minimization of and at each iteration of the procedure only smaller minimizations are required over subdomains. Also, we hope these overlapping domain decomposition algorithms are effective and stable for the measurement data, and more important, we hope outer iterative procedure should be constructed in a way that the number of iterations required for a given accuracy grows slowly when the degrees of freedom of the global minimization system and number of subdomains increase.

在很多实际工程应用和数学基础研究中都出现了大量不适定的反问题，求解这些不适定反问题的一种最稳定和有效的方法是通过Tikhonov正则化方法将它们转化成为一个稳定的优化问题。因此与正问题相比，求解反问题通常更具有挑战性。区域分解方法是一种利用大规模并行机去求解大规模正问题的最自然和最成功的方法之一。但是对于怎样应用区域分解方法在理论上和数值上有效求解反问题的研究还很少。在本项目中，我们将提出一些新的求解某些与时间相关反问题的重叠区域分解方法，并且在理论上给出相应的收敛性分析。这些算法将会体现区域分解方法的精髓，也就是说通过迭代过程去求解稳定的优化系统，并且在每个迭代过程中都只是在子区域内求解更小的优化问题；我们希望这样构造的重叠区域分解方法相对于观测数据误差是有效的、可靠的，更重要的是希望对于某个给定的精度这些方法的总迭代次数随着有限元网格的细分和子区域个数的增加而增长得非常慢。

区域分解方法是一种利用大规模并行机去求解大规模正问题的最自然和最成功的方法之一，但是对于怎样应用区域分解方法在理论上和数值上有效求解反问题的研究还很少。本项目组成员按照项目申请书的预定计划展开研究工作，设计了一些求解线性与非线性反问题的区域分解方法本项目组成员按照项目申请书的预定计划开展研究工作，圆满的完成了预定的研究工作。主要在以下几个方面取得了一些成果：.（1）设计了几种有效求解某些线性反问题的重叠区域分解算法。用区域分解方法求解反问题最困难的问题之一是正问题模型的解全局依赖于待识别的参数，也就是说即使只需要局部更新参数，但是仍然需要全局求解正问题，因此并没有真正减少全局计算。我们设计的算法克服了这个困难，仅仅需要计算每个子区域内的局部正问题及其对偶问题。大量的数值结果表明这些算法是稳定、有效的，特别地，算法的收敛性接近最优，也就是说当网格步长减小时外部迭代次数几乎稳定或者增长很慢。.（2）研究了用吉洪诺夫正则化方法识别麦克斯韦方程中的磁渗透率的收敛率问题。在研究收敛率问题中，最难的问题之一是能够构造出一个源条件从而得到相应的收敛率结果，并且给出的源条件要能够被严格验证。我们给出了一个容易解释并且能够严格证明的源条件，最终得到了标准的收敛率结果。.（3） 研究了应用Levenberg-Marquardt方法求解椭圆和抛物型系统中的非线性Robin反问题的二阶收敛性。我们先证明了所考虑的Robin反问题的唯一性，然后根据此唯一性，通过给定一些合理的假设，严格证明了Levenberg-Marquardt方法求解该Robin反问题是二阶收敛的。最后，我们设计了替代函数算法求解由Levenberg-Marquardt方法转化而成的凸优化系统。.（4） 设计了几种有效的重叠区域分解算法求解椭圆和抛物方程中的非线性Robin反问题。由于（2）中研究了应用Levenberg-Marquardt方法将非凸的优化系统转化成为凸优化系统是二阶收敛的。因此，我们设计了类似于求解线性反问题的重叠区域分解算法去求解该凸优化问题。这些算法经数值计算验证也是非常稳定、有效的：只需要在每个子区域内计算局部正问题及其对偶问题，并且当网格步长减小时外部迭代次数也几乎稳定或者增长很慢。

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