基于广义Jacobi多项式/函数的谱和谱元方法及应用

This project aims to establish and analyze efficient spectral methods and spectral-element methods based on generalized Jacobi functions, especially to construct non-standard base functions which such that physical intrinsic properties of underlying problems, and use to solve Navier-Stokes equations and fractional problems high accurately. It is important to design spectral and spectral-element schemes which such the divergence-free property of Navier-Stokes equations exactly, and simulate the intrinsic singularities and asymptotic properties of fractional problems. We also consider the efficiency of solving the discrete system such as condition number and sparse structure. This project also devotes to the approximation theory of generalized Jacobi functions, and use to analyze the convergence and the stability of the proposed spectral and spectral-element schemes.

本项目旨在建立和分析基于广义Jacobi函数类的高效谱和谱元方法，特别是构造满足物理问题本征性质的非标准基函数，并用于对Navier-Stokes方程和分数阶问题的高精度数值求解。重点在于设计谱和谱元格式严格满足Navier-Stokes方程散度为零的条件，拟合分数阶问题解的本征奇性或渐进性质；同时要考虑离散系统求解的有效性，如：条件数、稀疏结构；本项目也致力于Jacobi函数的谱逼近理论，并应用于所设计的谱和谱元法的稳定性和收敛性分析。

谱方法、差分法和有限元法是数值求解微分方程的三大方法，本项目致力于为科学和工程中问题的数值求解提供新谱/谱元方法。我们建立了圆盘区域上Fisher方程的混合Jacobi-Fourier谱和拟谱方法。构造了周期域上Fokker-Planck方程的混合谱方法。提出了全直线上非线性Fokker-Planck方程的谱方法。构造了由白噪声和彩色噪声驱动的随机微分方程的谱元格式。建立了关于好的条件数的Laguerre/Hermite谱配置法。提出了无界区域上热传导方程的一种新的混合Hermite-Legendre拟谱方法。建立了无界区域上组合广义Laguerre-Legendre插值逼近，并应用于求解半长条区域上非线性Fokker-Planck方程。基于空间上的新的基函数和时间上的对偶Petrov-Galerkin格式，我们提出了一种新的时空谱方法，并应用于求解四阶常系数问题。使用广义Hermite函数构造了全直线上Burgers方程的谱方法。我们研究了任意凸四边形上Neumann问题的谱方法。使用广义Laguerre与Hermite函数构造Birkhoff型插值基函数，并且给出了基函数的显式、稳定、快速算法，并给出了无界区域问题的好条件数配置法。我们提出了一类新的关于二维有界区域和无界区域上抛物方程的ADI-谱配置法。我们使用Hermite函数构造了Tempered分数阶微分方程的谱和谱配置法。提出了二维无界区域上四阶稳态问题的谱方法。使用移位的Muntz–Jacobi函数构造了带有弱奇异核的Volterra型积分方程的新谱元方法。这些研究结果为科学及工程领域中的数学物理问题提供了新的高精度数值方法，丰富了谱方法的基础理论，拓展了谱方法的应用范围。

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