随机激励下两类形状记忆合金系统的全局响应与分岔

Dynamics of shape memory alloy systems is currently an active research in dynamics and control field. Till now, most of the results are primarily obtained for deterministic systems with one steady-state solution. In engineering practice, due to the ubiquity of stochastic noise and co-existing solutions of nonlinear dynamical systems, the investigation of global stochastic dynamics of shape memory alloy systems are particularly important. This project is aimed at the properties of response and bifurcation from global viewpoint for two kinds of shape memory alloy systems, which mainly contains: develop a high effective cell mapping method for global analysis of high-dimensional stochastic dynamical systems, based on partitioned matrix to deal with the storage and computation, and short-time Gaussian approximation strategy to further improve speed; explore the influence rule of noise intensity on transient and steady state response and bifurcation, and clarify the relationship between global stochastic dynamics and global properties of deterministic systems for multiple degrees of freedom shape memory alloy systems under bounded noise excitation; consider the shape memory alloy systems under Poisson white noise and reveal the different mechanism of global dynamics compared with conventional elastic impact dynamical systems. This project will expand the application of cell mapping method, provide theoretical support for researching the shape memory alloy systems and enrich the research achievements of stochastic dynamics.

形状记忆合金系统动力学研究在动力学与控制领域十分活跃，迄今为止绝大部分成果属于确定性且系统解为单稳态的情况。但在工程实际中，由于随机因素以及非线性动力系统多解共存特性的广泛存在，使得研究随机激励下形状记忆合金系统的全局动力学变得尤为重要。项目针对两类形状记忆合金系统，研究多解共存时系统在非高斯噪声激励下的响应和分岔特性，主要包括：基于分块矩阵解决高维系统的存储与计算难题，结合短时高斯逼近策略提高计算速度，提出一种高效求解高维随机动力系统全局特性的胞映射方法；针对有界噪声激励下的多自由度形状记忆合金振子，探讨噪声强度对系统瞬态和稳态响应与分岔的影响规律，阐明全局随机动力学与确定系统全局特性之间的关系；考虑含碰撞形状记忆合金系统受泊松白噪声影响，揭示其与传统弹性碰撞系统全局特性之间的不同作用机理。项目的完成将拓展胞映射方法的应用领域，为形状记忆合金系统研究提供理论支撑，丰富随机动力学研究成果。

本项目以实现胞映射方法的高效计算为基础，针对具有实际工程背景的形状记忆合金系统，从全局角度研究了具有非光滑和高维特性系统的响应与分岔问题，取得的主要进展如下：.（1）改进复合胞坐标系法，分析确定性形状记忆合金系统的全局特性，研究系统参数对系统全局动力学行为的影响机制。以形状记忆合金薄板动力系统为研究对象，分析在温度和激励振幅两个控制参数作用下系统的全局分岔现象；针对干摩擦形状记忆合金振子系统，采用改进的复合胞坐标系法分析激励幅度，摩擦力和温度对全局分岔的影响，不仅验证了改进方法对于分析非光滑系统的有效性，并详细说明了随着参数变化激变现象的演变过程。.（2）提出基于分块矩阵策略的改进图胞映射方法，引入并行策略，针对一步转移概率矩阵的求解过程，通过分块计算将其存储为有限个独立的数据文件，即提高了计算速度，又解决了转移概率矩阵的存储问题。同时，提出改进的融合胞映射方法，通过简单胞映射方法获得系统的周期解，基于广义胞映射数据库，通过构建有向图得到系统不变流形的初始覆盖，结合排序、搜索和有向图算法，构建迭代策略，从而精确获得非光滑和随机形状记忆合金系统的全局特性，分析系统的响应与分岔。.（3）基于矩阵分块的广义胞映射方法，获取高斯和泊松白噪声联合激励下多自由度系统的非平稳和平稳的概率密度函数，研究随机分岔现象，蒙特卡洛结果验证了结果有效性。应用融合胞映射方法，以泊松白噪声激励下三维和两自由度动力系统为研究对象，将矩阵分析算法应用于全局吸引子覆盖集，获取高维随机动力系统的概率密度函数。此外，针对随机扰动下的碰撞和干摩擦系统，讨论系统参数对系统随机动力学特性的影响，研究非光滑系统的的随机响应与分岔现象。.（4）从全局角度研究典型随机扰动下形状记忆合金等系统的响应与分岔。针对形状记忆合金支架系统，通过扩展的复合胞坐标系方法，研究了有界噪声激励下系统的全局分岔演化机制和内在作用机理。针对泊松噪声下的形状记忆合金复合薄板，给出该系统的瞬态和稳态概率密度函数的详细演化过程。针对湍流旋流的随机动力学模型，研究了湍流系统的响应和随机P-分岔，从全局角度下揭示了不同参数值下系统的瞬态响应演化过程；针对色噪声扰动下Mathieu-Duffing振子，参照胞映射方法得出的系统的全局特性，利用基于短时高斯逼近的广义胞映射方法分析了系统在不同初始分布下的瞬态响应演化过程。

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