非凸非光滑高阶变分正则和非局部变分正则图像复原研究

Recent related works of sparse representation and regularization indicate that image restoration is actually to seek solutions with the sparsest, either of the image directly or of the related quantities of interest (such as gradient and transform coefficient). And nonconvex quasi-norm is more efficient than convex norm to approximate zero-norm which is an ideal metric to measure the sparsity. These works provide new means and ideas for image variational restoration. This project will apply nonconvex sparse representation to high-order derivatives and nonlocal gradient. In the framework of variational regulation, based on the nonconvex sparse prior of high-order derivatives and nonlocal gradient, this project will establish nonconvex sparse metric of high-order derivatives and nonlocal gradient by employing appropriate nonconvex nonsmooth potential function, and design two nonconvex nonsmooth regularization terms based on high-order derivatives and nonlocal gradient, respectively. In addition, according to the different targets and tasks of the image restoration, using these two nonconvex nonsmooth regularization terms, we will set up several variational models and design corresponding numerical methods, aiming to deal with noise remove, staircase reducing, edges preserving and texture restoration simply and effectively. This research will expand the scope of application of nonconvex sparse representation, and provide new means and ideas for image variational restoration, also provides theoretical and application-related foundation in the fields of computer vision and pattern recognition.

稀疏表示和正则化理论的最新研究进展表明：“图像复原就是寻找图像本身或与其相关的某种度量(梯度、变换系数等)的最稀疏表示”；“非凸拟范数较凸范数能更有效地逼近理想的稀疏性度量——零范数”。这为变分图像复原提供了新的思路和方法。本项目拟将非凸稀疏表示应用到图像的高阶导数和非局部梯度，在变分正则框架下，在图像高阶导数和非局部梯度的非凸稀疏先验假设下，通过选择合适的非凸非光滑势能函数，构建图像高阶导数和非局部梯度的非凸稀疏度量，设计新的基于高阶导数和非局部梯度的非凸非光滑正则项，并针对不同的图像复原任务和目标，基于此类正则项建立非凸非光滑变分模型和高效的数值算法，以期在变分正则化图像复原中更好地处理噪声去除、阶梯效应去除、边界保持和纹理恢复等工作。本项目的研究可进一步扩展非凸稀疏表示理论的应用范围，为变分图像复原研究提供新的理论与方法，也为计算机视觉和模式识别等领域提供理论应用基础。

从退化图像中复原干净清晰图像，这是一个典型的病态反问题，正则化技术是目前解决此问题有效方法之一。正则化方法通过极小化正则化度量，将解图像限定在合适的正则空间中，如何设计合适的正则化项，并根据不同的修复目标，建立图像修复模型并设计有效的算法是当前信息科学、计算科学、应用数学等所面临的亟待解决的问题。本项目综合运用并发展了“图像复原就是寻找图像本身或与其相关的某种度量的最稀疏表示”；“非凸拟范数较凸范数能更有效地逼近理想的稀疏性度量——零范数”的思想，将非凸稀疏表示应用到图像的高阶导数和非局部梯度，在变分正则框架下，通过选择合适的非凸非光滑势能函数，构建图像高阶导数和非局部梯度的非凸稀疏度量，设计新的基于高阶导数和非局部梯度的非凸非光滑正则项，并针对不同的图像复原任务和目标，基于此类正则项建立非凸非光滑变分模型和高效的数值算法，在图像复原中更好地去除噪声、减轻阶梯效应、保持边界和恢复纹理。具体研究内容如下: (a)非凸广义全变分正则化; (b)非凸各项异性变分正则化; (c)非凸正则化结合振荡建模的图像分解及其在图像复原中的应用; (d)非凸TV与非凸高阶TV的混合正则化; (e)非凸非局部TV正则化度量; (f)非凸正则化在图像分割和图像修补中的应用。本项目的研究进一步扩展了非凸稀疏表示理论的应用范围，为变分图像复原研究提供新的理论与方法，也为计算机视觉和模式识别等领域提供理论应用基础。本项目在国内外计算机科学、应用数学的一些主流杂志，如《Information Sciences》、《Signal Processing》、《Pattern Recognition》《Neurocomputing》、《Applied Mathematics and Computation》、《Applied Mathematical Modelling》等发表学术论文23篇。

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