Heisenberg 群上的 k-平面变换

Due to the geometric background in mathematics and the quantum mechanics background in physics, the Heisenberg group attracts many people’s interest to extend the theory of harmonic analysis, which has done on Euclidean space, to the Heisenberg group. As the theory of the Radon transform on Euclidean space becomes more mature, researches on the Radon transform in the Heisenberg group attracts more concern.. This research is concerned with the inverse k-plane Radon transforms of the Heisenberg group via the group Fourier transform and wavelet transform. Firstly, by the properties of the k-plane Radon transform together with the relationship between the group Fourier transform and the partial differential operators, the inversion formula associated with inverse group Fourier transform is studied. Secondly, by using the wavelet transform and the properties of the k-plane Radon transform, a new inversion of k-plane Radon transform, associated with the inverse wavelet transform, is discussed.. At last, we expect these result can be extend to the nilpotent Lie group of step two.

归因于Heisenberg群在数学方面的几何背景和在物理方面的量子力学背景，很多研究希望调和分析在Heisenberg群上可以得到与欧氏空间类似的理论框架。而随着欧氏空间Radon变换理论的逐渐成熟，Heisenberg群上的Radon变换理论的研究越来越受到关注。. 本项目主要拟通过Heisenberg 群Fourier变换和小波变换来研究该群上k-平面Radon变换的反演问题。首先，利用Heisenberg 群上k-平面Radon变换的性质，结合群Fourier变换与各种偏微分算子的关系，研究群Fourier变换逆公式下的k-平面Radon变换的反演公式。其次，结合上述性质和关系研究Heisenberg 群上小波变换，进而探讨小波变换逆公式下的k-平面Radon变换的反演公式。. 最后，我们期望这些结果可推广到一般的二步幂零李群上。

Heisenberg群上的k-平面变换是该群上的广义Radon变换，而Radon变换已获得了大量的研究。本项目研究了Heisenberg群上的k-平面变换的性质并获得了三类反演公式。第一类是利用群Fourier变换的技巧，通过偏 Riesz位势和该群上的次拉普拉斯算子推导得到。借助该公式，获得了另两类分别由k-平面变换的伴随以及小波给出的反演公式。另外，部分相关结果被推广到了一类Siegel 型幂零李群上。. 与此同时，通过上述Fourier变换的技巧得到的Heisenberg群热核估计，证明了Heisenberg群Radon变换的Heisenberg-Pauli-Weyl不等式。此外，利用特殊Hermite函数的性质及Heisenberg群上带积分型余项的Taylor多项式，建立了Heisenberg群H^p(0<p<1)空间上的哈代不等式。类似地，还得到了关于特殊Hermite扩张以及关于Laguerre函数的扭曲卷积变换的哈代不等式。

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