动力系统的可积理论与动力学分析

The integrability, qualitative and bifurcation theories have played important roles in the dynamical analysis of dynamical systems, in this proposal we will study some basic important problems in these theories： local and algebraic integrabilities of dynamical systems，and their applications of these theories to dynamical analysis of dynamical systems. Parts of the project are the more deep development of the applicant’s previous research works and the other parts are completely new, which contain some long standing open problems, which cannot be solved until now. The concrete problems to be studied in this proposal are the following: on the local integrability we focus on the local Darboux theory of integrability of differential systems around a singularity, and the characterization on the existence of analytic normalization of locally analytic partial integrable differential systems in a neighborhood of either their singularity or their periodic orbit. On the global integrablity we mainly consider its further development of the Darboux theory of integrability, and the deep connection of this theory with the elementary and Liouvillian integrabilities; then we will apply these theories to analyze dynamics of the Kirchoff equation and Euler equation, which are originated from fluid mechanics. In this proposal we will also investigate algebraic integrability and their local and global dynamics of quaternion differential equations.

可积、定性和分支理论在动力系统的动力学研究中起了重要的作用，本项目拟研究这些理论中几个重要的基础问题： 动力系统的局部和代数可积理论，以及这些理论在动力系统的动力学分析中的应用。这些研究内容部分是项目申请人前期研究工作的深入和发展，部分是新的研究课题，其中一些是长期没有解决的公开问题。具体研究内容如下：局部可积理论方面侧重于局部Darboux可积、以及解析微分系统在奇点和周期轨道邻域局部偏可积时系统的解析等价正规化子的存在性。整体可积理论方面侧重于Darboux可积理论的改进和发展，以及该理论与初等和刘维尔可积之间的本质联系；同时将这些理论应用于解决源于流体力学中的Kirchoff方程和Euler方程等实际模型的动力学。本项目还将研究Quaternion域上微分方程的代数可积性、及其局部和整体动力学。

本项目主要研究常微分方程和动力系统的可积理论及其在动力学分析中的应用。课题组按照申请书的研究计划开展研究工作，并得到了预期的研究成果，获得一些有意义的创新性研究成果。主要结果发表在Chaos，SIAM J. Appl. Dynam. Sys., J. Differential Equations, Nonlinearity和Discrete Contin. Dynam. Sys.等国际专业核心期刊上。获得的成果总结如下。..一、可积理论.当平衡点的线性化矩阵有一个零特征值、其它特征值非共振的解析微分系统，其局部首次积分的存在性和正则性是自2003年一直没有解决的公开问题。项目组利用不变流形理论等在法向双曲且所有特征值的实部同号时解决了该问题：证明系统有解析的首次积分。守恒量的存在与对称有着密切的联系，项目组研究了由广义对合确定的广义反转系统及其流的性质等，以及它们的可积簇的性质和计算等。临界周期问题一直是动力系统的重要研究课题之一。项目组给出判定变量分离的哈密顿系统的周期函数单调性的一个更优的充分条件以及用统一的方法获得临界周期唯一性的多个充分条件。同时还给出周期函数在环域边界的极限性质等。..二、奇异摄动理论及其应用.发展了两维奇异摄动系统在转向点邻域的动力学理论。得到转移函数的正则性和渐近表示等，并应用其得到一类生物经济学模型的张弛振荡解的存在性。结合奇异摄动理论极大地发展了Holling III型捕食被捕食系统的动力学研究成果，得到全局稳定性、张弛振荡、鸭爆炸、同异宿轨道的存在性，以及奇异快慢环分支的极限环的最大个数等。..三、定性理论和极限环分支.周期轨道簇的极限环分支问题一直是经典的研究课题。对于以初等中心和具有任意阶幂零奇点的同宿轨道作为内外边界的环域，给出一阶Melnikov函数的高阶渐近表示，并应用其改进了具有四次椭圆Hamilton函数的m+1阶Lienard系统极限环数目的下界。.. 另外，在光滑微分系统Melnikov函数的光滑性、多项式微分系统的定性和极限环的分支、以及分段线性微分系统极限环的最大数目等方面都得到一些有趣的新结果。

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