函数空间实变理论、Riesz变换及其在微分方程中的一些应用

Real variable theories of function spaces and the boundedness of Riesz transform are of important research directions of harmonic analysis, since they provide working spaces and useful techniques for PDE and geometric analysis. The applicant and cooperators have been developed some real variable theories of Hardy and BMO spaces associated with differential operators, regularities of solutions to elliptic and parabolic equation and boundedness of Riesz transform on metric measure spaces, well-posedness of transport equations in BMO space and well-posedness of the corresponding ODEs on Euclidean spaces. Based on these foundations, this project plans to investigate: the equivalence of function spaces associated with differential operators and trace space of corresponding harmonic functions and caloric functions, behaviors of BMO spaces associated with operators under quasiconformal mappings and Lipschitz mappings; the boundedness of Riesz transform for degenerate elliptic operators on Euclidean spaces, and the application of the boundedness of Riesz transform to regularity of solutions to these degenerate elliptic equations; search suitable conditions on vector fields such that the Jacobian of solutions to the ODE is a Muckenhoupt weight, and apply this to study well-posedness of transport equation in BMO space on Euclidean spaces (including one dimension).

函数空间实变理论及里斯变换的有界性，因其为偏微分方程、几何分析等学科提供了工作空间与解决问题的工具，一直是调和分析研究的重要内容。 申请人与合作者已发展了一些与微分算子相关的Hardy及BMO型空间实变特征理论、度量测度空间上椭圆方程与抛物方程解的正则性及里斯变换的有界性理论、欧氏空间上输运方程在BMO等空间解的正则性及相应的常微分方程解的正则性等理论。在前述研究基础之上，本课题拟研究：与一般微分算子相关的函数空间和相应的调和函数与热函数的边值空间的等价刻画，相关于微分算子的BMO等空间在拟共形映照、Lipschitz映照等下的表现性质；欧氏空间上相关于退化椭圆算子的里斯变换的有界性，及其在退化椭圆方程解的正则性中的应用；寻找关于向量场合适的条件使得相应的常微分方程的解的Jacobi行列式是Muckenhoupt权，以及(含一维)欧氏空间上的输运方程在BMO等空间中解的适定性等问题。

项目按照预定研究计划展开，主要研究的内容包括调和分析中的基础问题：流形上的奇异积分理论及其应用。..1983年Strichartz提出公开问题：能不能在一般的流形上给出使得Riesz变换有界的充分条件。2004年左右Auscher等在倍测度和Poincare不等式的条件下，证明了Riesz变换的有界性与热半群的梯度的有界性等价。但是Auscher等的等价性只是在开区域上(2,p)上成立，并非点点等价。我们在J. Funct. Anal. 2020中证明了上述等价是点点等价，并证明了Riesz变换的有界性与调和函数的逆Holder不等式点点等价。..Hassell等2006年证明了在一类由欧氏空间粘合形成的流形上，Riesz变换对p在1到n（维数）之间是有界的。他们提出系列公开问题，包括Riesz变换的有界性在扰动下是不是稳定的？粘合？我们在J. Math. Pures Appl. 2020以及Adv. Math. 2021的论文中，建立了Riesz变换在倍测度以及不一定满足Poincare不等式的条件下与热核、调和函数正则性的等价刻画。并由此给出了Riesz变换在粘合以及扰动下的稳定性，解答了Hassell等提出的多个公开问题。..我们还解决了平面上Korn不等式的几何特征刻画问题，并回答了相关方向的两个公开问题。在度量空间上建立了与薛定谔算子相关的BMO空间与上半空间调和函数的卡尔松测度等价刻画。找到了关于向量场b的最佳条件并由此解决了一维输运方程在BMO空间中的解的适定性问题。..此外，我们还系统研究了强极大函数的性质如连续性和正则性问题, 而且直接做到多线性强极大函数情形；建立了强极大函数在一系列函数空间上的连续性和正则性结果；解决了一类非局部扩散项的漂移扩散方程的解的正则性问题以及一类推广的二维准地转方程（即SQG方程）弱解的存在性与正则性问题，推广了Constantin-Cordoba等人的相关结果。..相关成果在Adv. Math.、J. Math. Pures Appl.、Forum Math. Sigma、J. Funct. Anal.、Calc. Var. PDEs等期刊发表，并已经被包括Le Bris、Hytonen、Muller S.、Suli E.等ICM报告人引用，形成了一定的国际影响力。

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