空间周期的哈密顿系统与N摆方程的旋转型解, 以及N维环面上恰有N+1个临界点的函数的研究

This program studies rotational solutions for spatially periodic Hamiltonian system and N-pendulum equation, and functions on N-dimentional torus with N+1 critical points. Periodic solutions are important objects in Hamiltonian system and Lagrangian system, they can be divided into two classes: contractible and non-contractible. For spatially periodic case, rotational solutions are non-contractible. Because of the complexity of Hamiltonian system and Lagrangian system, studies on the nature of the periodic solutions becomes one of the important topics in Hamiltonian system and Lagrangian system. On the qualitative and quantitative nature of these rotational solutions, especially for the multiplicities and the linear stabilities, there are many unresolved problems, which are also important topics in Nonlinear Analysis, Symplectic Geometry, Dynamical System, etc. In this program, we study rotational solutions of Hamiltonian system on R^{2n-k}×T^k and planar N-pendulum equation, We establish conditions of their multiplicities and linear stabilities, and use the method of Maslov-type index and other tools to make a characterization. In addition, this program also study functions on N-dimentional torus with N+1 critical points.

本项目研究空间周期的哈密顿系统与N摆方程的旋转型解，以及N维环面上恰有N+1个临界点的函数。周期解是哈密顿系统与拉格朗日系统中的重要的研究对象，它分为可缩与不可缩两类。对空间周期的情形，旋转型解是不可缩的周期解。由于系统的复杂性，寻找并研究周期解的有关性质就成了哈密顿系统与拉格朗系统的重要课题之一。其中关于旋转型解的定性与定量性质，尤其是多重性以及这些旋转型解的稳定性方面还有许多未解决的问题，它们也是非线性分析、辛几何、动力系统等自然科学领域关心的重要问题。本项目致力于对 R^{2n-k}×T^k 上的哈密顿系统的旋转型解的问题、平面N摆方程的旋转型解的问题进行研究，建立它们的多重性条件、线性稳定性的相关条件，并结合对应的Maslov-型指标和其它一些相关的工具对它们的性质作出刻画。此外，本项目还将研究N维环面上恰有N+1个临界点的函数。

哈密顿系统与拉格朗日系统是数学与物理交叉的传统研究领域，这两种系统的周期轨道的多重性问题长期以来一直受到数学家和物理学家的广泛重视，也是本项目的研究重点。本项目主要研究：R^n x T^n 上的哈密顿系统分别在给定周期、给定能量这两种情形下的旋转型解的多重性；平面N摆方程的旋转型、振荡型两种周期解的多重性。关于这些问题我们最近三年取得了良好的成果，特别是我们证明了R^n x T^n 上的哈密顿系统在给定周期、给定能量这两种情形下都至少有n个几何不同的旋转型解；我们对平面N摆方程证明了当旋转向量具有n个零分量时的旋转型解至少有(N-n+1)2^n个，对具有相等分量的旋转向量我们也得到了相应的结果；在研究过程中产生的新思路对平面N摆方程的周期解的多重性的研究起到良好的促进作用，特别是我们证明了当摆的质量、摆长满足一定条件时，平面N摆方程的振荡型周期解至少有2^{N+1}个。本项目共发表论文1篇，还有一些重要结果已经投稿或正在整理。本项目为我们进一步研究空间周期的哈密顿系统与拉格朗日系统的周期解的多重性问题打下了坚实的基础，促进了两种动力系统相关课题的研究。

内容获取失败，请点击重试