高振荡色散方程的多尺度计算方法及分析

Highly oscillatory dispersive partial differential equations (PDEs) are widely used models in science and engineering, such as quantum mechanics, computational chemistry, two dimensional material, Bose-Einstein condensates and plasma. Therefore, the study of efficient and accurate simulations for oscillatory dispersive PDEs has significant importance in theory and practical application aspects. In this project, we consider the typical highly oscillatory dispersive PDEs, including Klein-Gordon equation and Dirac equation in the nonrelativistic limit, Zakharov system in the subsonic limit, and their coupling with Schroedinger equation and other equations, and explore efficient and accurate numerical methods for these oscillatory problems. Firstly, we investigate the performance of classical methods from literature in the highly oscillatory regime, by using error analysis with emphasis on the relation between the oscillation and the error. In order to overcome the difficulty caused by explicitly resolving the high oscillations, we apply multiscale analysis tool to develop multiscale decompositions for these highly oscillatory dispersive PDEs. Based on the multiscale structure, we combine the spatial discretizations by Fourier collocation method / Fourier Galerkin method, and the time discretizations by exponential wave integrator/time splitting method, to design efficient and uniformly accurate (independent of oscillation scale) multiscale numerical methods. We will justify the uniform accuracy by both rigorous error analysis and numerical experiments. This project is an exploratory research on multiscale methods and analysis for highly oscillatory dispersive PDEs, and provides efficient and accurate simulation tools for applications in two dimensional material, plasma and Bose-Einstein condensate.

高振荡色散类方程是科学研究与工程实践中的前沿热点问题，在量子力学，计算化学，二维材料，等离子物理等方向有着重要应用，其高效高精度算法的研究有着重要的理论意义和应用价值。本项目拟针对以亚音速极限下的Zakharov方程，非相对论极限下的Klein-Gordon方程和Dirac方程，以及其与薛定谔方程等的耦合为代表的高振荡色散类问题，以误差分析等理论工具讨论文献中经典格式在高振荡极限下的行为；结合多尺度分析方法，和基于Fourier配点法和Fourier-Galerkin方法的空间离散，以及基于指数积分因子法和时间分裂方法的时间离散，实现高振荡色散方程高效且一致精确(不依赖于振荡尺度)的数值模拟，并讨论算法的收敛性和误差估计。本项目的研究工作是对高振荡色散类问题高效且一致精确数值模拟的探索，不仅为色散方程中的多尺度分析提供了理论基础，而且在二维材料、等离子物理等领域有良好的应用前景。

高振荡色散方程是科学研究与工程实践中的前沿热点问题，在量子力学，计算化学，二维材料，等离子物理等方向有着重要应用，其高效高精度算法的研究有着重要的理论意义和应用价值。本项目针对包含Klein-Gordon（KG）方程、Dirac方程和薛定谔方程等色散方程的计算方法及相关理论，重点讨论以非相对论极限为代表的高振荡极限下的性质以及常用数值方法在高振荡极限下的误差估计，设计高振荡色散类问题一致精确的高效数值方法，并讨论误差估计，建立算法的数学理论。同时，色散方程稳态解作为时间发展方程的一类重要初值，我们也研究了非线性薛定谔方程和非线性Dirac方程稳态解（基态解）的计算方法及其应用。本项目的研究工作是对高振荡色散类问题高效且一致精确数值模拟的探索，取得了如下关键进展：基于多尺度渐近分析与指数积分因子方法提出了求解非相对论极限下非线性Dirac方程的时间二阶算法，达到一致一阶；基于皮卡迭代，利用时间演化自由Dirac算子的酉特性以及Dirac算子的谱分解，提出了皮卡迭代求解Dirac方程的数值格式，该方法在时间方向上具有最优一致收敛阶，能推广至任意高阶，且对该类有有限个时间振荡频率的问题均有效；分析了算子分裂格式在求解非相对论极限下（非线性）Dirac方程的误差，发现在无外磁势下算子分裂方法是一致精确的，且时间步长在远离高振荡频率决定的共振节点时，算法的一致收敛性有进一步的提高；引入了一个新的技巧Regularity Compensated Oscillation来分析时间分裂方法在长时间弱非线性的薛定谔方程求解中的误差，得到了关于小参数的最优误差阶，改进了以往同类问题只能处理区域长宽比为有理数的结果；发展了黎曼流形优化方法来求解多组分自旋玻色爱因斯坦凝聚的基态，并改进了常用的归一化梯度流方法，获得了更好的计算效率与精度，并应用在二维偶极体系和激子体系的研究当中。本项目为高振荡色散方程中的多尺度分析提供了理论基础，且在二维材料、冷原子等领域有良好的应用前景。

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