非线性方程的非点李对称及其相关问题研究

The study on symmetries of nonlinear equations is an important research part of nonlinear mathematical physics, which can not only provide mathematical properties of nonlinear equations themselves, but also point out physical properties of physical systems governed by nonlinear equations. At present, Lie point symmetries of nonlinear equations have been well studied and the related theory is quite perfect. However, nonlinear equations possess abudant symmetries including non-Lie point symmetries, such as higher order symmetries, nonlocal symmetries, and even non-continuous discrete symmetries, etc., studies on these topics are not well developed. There is very limited progress on either the methods or the research results. In addition, there are many important problems related to symmetry, such as tranformation group, group invariant solution, conservation law, and so on. All these problems deserve further investigation, and thus one might obtain more novel and meaningful achievements. This project aims to study non-Lie point symmetries and the associated problems of nonlinear systems especially integrable systems. On one hand, we will apply the established methods to more nonlinear models to obtain new nonlocal symmetries and related new results so as to enlarge present research achievements. On the other hand, we try to construct and develop new approaches to discover more new meaningful results.

非线性方程的对称性研究是非线性数学物理研究的一个重要内容，不仅可以在数学上给出非线性方程本身的数学性质，而且可以在物理上给出非线性方程刻画的物理问题的物理性质。目前对非线性方程的点李对称的研究已经非常成熟和完善，但是非线性方程具有非常丰富的非点李对称，如高阶对称、非局域对称甚至非连续的离散对称等，而有关非点李对称的研究还未得到很好的发展，无论是求解方法方面还是研究成果方面都还十分有限。另外，与对称相关的问题也非常多，如变换群、群不变解、守恒律等等，这些问题都具有非常重要的研究意义，这些问题的研究往往会给出一些全新的有意义的结果。本项目将重点研究非线性系统特别是可积系统的非点李对称及其相关问题，一方面应用现有方法得到更多非线性模型的新非局域对称及其相关新结果，扩大现有的研究成果，另一方面争取在方法上有所创新，建立和发展新方法，获得更多的新结果。

在非线性系统的非点李对称方面，研究了非线性SG和ShG方程的与贝克隆变换相关的非局域对称和非线性DSW方程的与Painleve流形相关的留数对称。通过引入附加场得到一个扩张系统的同时将非局域对称局域化，随后由传统方法求解扩张系统的对称性约化得到原系统的相似约化解，得到孤子与背景周期波的相互作用波解。对于非线性SG和ShG方程，采用参数级数展开法诱导出了无穷多非局域对称；通过对非局域对称中函数的相容性条件方程采用级数展开构造了无穷多非局域守恒律；对贝克隆变换进行级数展开构造了无穷多局域和非局域守恒律。对非线性ShG方程进行非局域对称约束构造得到了新非线性可积系统。将形式级数对称法推广到超对称框架下得到了N=1超对称BLMP系统、超对称负KP系统和2+1维超对称mKdV系统的无穷多一般对称及其对称代数。结果显示超对称可积系统的无穷多一般对称和对称代数结构与经典系统的相类似。得到了N=1超对称mKdV系统的孤子和椭圆周期波的相互作用解，孤子在周期波背景中行进时没有发生任何形变。用多线性分离变量法求解了DS III系统，得到了包含四个低维任意函数的严格解，其中两个任意函数可以诱发系统的多种非线性激发，首次讨论了多值的周期折叠子和单值 dromion 之间的相互碰撞行为，该结果可以看作是单个折叠子-dromion相互作用波的周期推广。把KdV方程的与非局域对称相关的孤子-周期相互作用波解用来解释了具有超热电子和正子的电子-正子-离子等离子体系统中的离子声波。针对目前备受关注的非线性非局域系统研究方面，主要考虑从流体的多涡模型出发，引入合适的对称，建立了具有时间反演延迟和空间反演平移的非局域mKdV方程以及具有时间反演延迟、空间反演平移和电荷共轭的非局域NLS方程，所得的结果解释了灾害性天气气候中两时两地相关联的两个大气阻塞事件的成熟状态。为进一步刻画大气阻塞的生命周期现象，首次建立了变系数非局域非线性KdV方程，很好地解释了两时两地相关联的两个偶极子型大气阻塞的整个生命周期过程。

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