数据驱动的稀疏时频分解

Developing effective time-frequency analysis methods is an important path through which we can understand the underlying processes of natural phenomena. So far, most time-frequency analysis methods use a pre-determined basis to process data and assume linearity or stationarity of data. Applications of these methods to nonlinear and nonstationary data tend to give many unphysical harmonic modes. To better understand the physical mechanisms hidden in the data, one needs to develop truly adaptive time-frequency ansysis methods that could handle the non-stationary and nonlinearity of the data. Such methods should be adaptive to the nature of the data, which requires the use of an adaptive basis that is derived from the data rather than determined a priori...We propose to develop a new data-driven time-frequency analysis method to study nonlinear and non-stationary data. The key idea is to look for the sparsest time-frequency representation of a signal over the largest possible dictionary using nonlinear optimization, and develop an efficient method to solve this nonlindar nonconvex optimization problem. This method shares many attractive features as those of the Empirical Mode Decomposition method, and can be used to extract physically meaningful information of the signal such as instantaneous frequency and trend. Moerover, our method has solid mathematical foundation and is stable to noise perturbation. Another objective of this proposal is to solve some challenging real work problems in structure health monitering and medical imaging.

高效的数据分析方法是我们理解自然现象的重要工具。在很多数据中，频率往往包涵了重要的信息，可以用来揭示和理解数据背后的物理机制。完全自适应于数据本身的时频分析方法对于理解数据及其背后隐藏的物理机制就变得非常重要。..受经验模态分解和压缩感知的启发，本项目提出发展一种数据驱动的稀疏时频分解方法。主要的想法是在一个充分大的时频字典集合里面寻找最稀疏的分解。这种分解可以通过求解一个非线性优化问题来得到。一方面，我们可以借鉴压缩感知中的算法和理论，来高效的求解这一优化问题。另一方面利用这个模型，我们也为经验模态分解提供了严格的数学模型和数学理论。

时频分析是信号处理中的重要课题。对于各类振荡信号，频率以及频率的变化往往包含了其中的重要信息，对于我们揭示信号背后隐藏的物理机制有重要的帮助。由于频率信息的重要性，如何从振荡信号中准确的提取其瞬时频率一直是信号处理中的研究热点。..经验模态分解（EMD）方法是一种有效的获取瞬时频率的方法。EMD方法的主要想法是将一般的信号分解成一些本征模态函数的组合。EMD方法所给出的分解完全自适应与信号本身，可以最大限度的保存信号所包含的信息。另一方面，EMD方法也存在对于噪声非常敏感，缺乏数学基础等缺陷。..在本项目的研究中，我们将EMD方法与压缩感知（compressive sensing）结合起来，为EMD方法发展了一套完整的数学模型，算法和理论。我们针对稀疏时频分解的数学模型、理论、算法以及应用进行了全面的研究，圆满达成了项目的既定研究目标。在数学模型方面，我们针对满足尺度分离的信号、不满足尺度分离的信号、具有波形调制的信号分别提出了严格的数学模型。在理论分析方面，我们分析了数学模型解的存在唯一性，并且证明了相应算法的收敛性。在算法方面，我们结合matching pursuit和basis pursuit，针对不同的数学模型，分别提出了相应的高效算法。在实际应用方面，我们成功的将稀疏时频分解应用于结构健康检测问题中，取得了很好的效果。

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