Navier-Stokes-Maxwell 方程组及其相关系统的一些研究

Plasma dynamics is the study of plasma motion state and non-equilibrium process discipline. In nature and in the laboratory, the majority of plasma are in non-equilibrium state, such that the research on plasma of the charged particle system has important theoretical significance. This project will study on the Navier-Stokes-Maxwell equations and related systems. We use the classical energy method, the combination of spectrum analysis and energy estimation, Lyapunov functional and so on are effective tools to analyze related problems. We will study the stability of the solution, the stability of the corresponding initial boundary value problem, Cauchy problem. Through the in-depth study of these issue, we hope to provide some strict mathematical results of these physical phenomena.

等离子体动力学是研究等离子体各种运动状态和非平衡过程的学科。自然界和实验室中的等离子体，绝大多数是处在非平衡态的，因此关于带电粒子系统的等离子体动力论研究有着重要的理论意义。本项目研究Navier-Stokes-Maxwell方程组及其相关动力学模型。我们将使用的经典能量方法，以及谱分析和能量估计的组合、Lyapunov泛函等分析工具，研究解的稳定性，研究相应的初边值问题、柯西问题的稳定性。通过对这些问题的深入研究，希望能得到一些好的数学理论结果。

本项目主要围绕下述三个具体的问题进行了研究：.一、1963年，Williams提出了反应混合物的可压缩Navier-Stokes系统模型，许多数学家在解的存在性、唯一性和渐近性等方面取得了很大进展。据我们所知，半直线上的反应混合物的可压缩Navier-Stokes方程的解的大时间行为仍然是开放的。对于这个问题，我们会给出一些肯定的答案。.另一方面，Navier-Stokes 方程组的初边值问题(IBVP)由于具有更多的物理背景，当然也由于边界效应产生了一些新的数学问题，引起了人们的广泛关注。在 IBVP情况下，不仅可能出现基本的波形，而且还可能出现一种新的波形，称为边界层解(BL-解)。因此我们考虑了混合物在半直线上反应的一维Navier-Stokes方程初边值问题解的大时间行为，给出无渗透问题的稳态解的渐近稳定性以及复合波的稳定性，其中包括亚声速BL-解、接触波和反应混合物在某些较小条件下的Navier-Stokes方程内流问题的稀疏波。.二、磁流体动力学研究的是导体流体在电磁场中的运动，应用非常广泛。我们考虑等熵流的可压缩MHD方程组，我们考虑的流体是等熵和可压缩的，也就是说，我们考虑的是等熵可压缩的Navier-Stokes方程。在仅关于密度和速度的一定条件下研究了三维可压缩磁流体动力学（MHD）方程的弱解的能量守恒。结果表明，即使考虑了磁场，我们也只需要一些密度和速度的规律性条件，就可以保证能量守恒。.三、最后研究了以不可压缩Navier-Stokes方程为基础的带有液体环境的捕食-趋向系统,并与已有的趋化-流体趋化模型进行了比较, 证明了具有二维捕食者-食饵相互作用系统的解对任意正常数都是全局有界的。运用能量估计，得到了具有一致时间界的解的整体存在性。通过构造一些李雅普诺夫泛函，我们也研究了解的大时间行为。

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