摄动方法在稀有事件研究中的应用

There are many complex systems in nature whose dynamics are driven by rare events. The study of rare events has been among the most challenging topics in scientific computing and has attracted increasing interests over the past decades. Although many powerful theoretical tools and numerical methods have been proposed to study rare events, there remains many open problems. This proposal aims to apply the perturbation methods to several significant problems in the study of rare events, and utilize the asymptotic results obtained from the perturbative calculations to make theoretical analysis and improve numerical methods. The topics to be studied in this proposal include, the perturbative calculation of quasi-potential and the improvement of minimum action method, the sensitivity analysis of reaction rate, and the error analysis of optimal milestoning. The purpose of this proposal is to provide more useful analytical and computational tools for the study of rare events.

自然界存在着大量由稀有事件所主导的复杂系统。对稀有事件的研究是过去十几年里科学计算领域里最具挑战性的热点之一。虽然目前已经发展了很多研究稀有事件的有力的理论工具和数值方法，但仍有大量的问题有待解决。本项目拟针对稀有事件研究中的若干重要问题，引入摄动方法加以研究，并将摄动计算获得的渐近结果，应用于理论分析和改进算法。本项目拟研究的具体内容包括，对拟势的摄动计算及对最小作用量方法的改进，对反应率的敏感度分析和对最优里程碑方法的误差分析。本项目旨在为稀有事件的研究提供更多有用的分析和计算工具。

自然界存在着大量由稀有事件所主导的复杂系统。虽然目前已经发展了很多研究稀有事件的有力的理论工具和数值方法，但仍有大量的问题有待解决。本项目针对稀有事件研究中的若干重要问题，引入摄动方法加以研究，并将摄动计算获得的渐近结果，应用于理论分析和改进算法。本项目所取得的成果包括如下四个方面：1.给出了关于稳定的极限环的拟势的局部摄动计算方法，并且将其与最小作用量方法相结合，从而发展了一种有效的数值方法用以计算脱离稳定的极限环的最小作用量路径；2.对于具有离散状态空间的Markov跳过程，完成了对转移路径理论中反应率的敏感度分析；3.发展了计算能量泛函在$H^{-1}$度量下的鞍点的投影法，并从理论上证明这一新算法具有局部二阶收敛速度；4.对于离散时间有限状态的Markov链，发展了基于强化学习的计算拟稳态分布的新算法。相关成果发表于Journal of Nonlinear Science，Journal of Scientific Computing和Entropy等杂志。本项目的开展进一步丰富了稀有事件研究的理论和计算工具。

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