双曲型方程组反问题及脉冲输入法反波速问题研究

反问题是指从已知结果或关于结果的部分已知信息来反求原因的问题，它在天文、物理等许多自然科学和医学(如CT)等许多实际应用中有着重要的理论与应用研究价值。偏微分方程反问题是反问题在数学研究领域中的一个重要研究方向。本项目旨在研究：(1)较一般的二阶双曲型方程组的反问题；(2)非各向同性介质中动态弹性力学方程组的反问题；(3)关于初值为零时通过脉冲输入法来决定波动方程中波速的反问题。具体地说，我们将研究通过在边界或边界区域上的有限次观测来决定所考察偏微分方程中未知系数函数或非齐次项的反问题，建立唯一性与条件稳定性。我们将采用基于Carleman估计的方法研究反问题(1)和(2)。关于这方面的研究理论，已有的结果主要是关于单个方程或各向同性介质中方程组的。我们的预期研究结果将极大地发展这一反问题研究理论。关于问题(3)的预期研究结果将弱化已有结果中的对于实际应用来说极为不利的一个先验性假设条件。

本项目原计划研究下述三个反问题：(1)较一般的二阶双曲型方程组的反问题；(2)非各向同性介质中动态弹性力学方程组的反问题；(3)关于初值为零时通过脉冲输入法来决定波动方程中波速的反问题。关于问题(1),我们严格按照项目计划进行了研究，并且取得了良好的进展，实现了本项目计划的预期目标，相关论文已经被Applicable Analysis杂志接受并且已经在网上发表。关于问题(2), 我们按计划研究了非各向同性介质中动态弹性力学方程组的反问题，但是遇到了很大的困难，没有能实现项目计划的预期目标。关于问题(3),我们正在按计划进行研究，预计本项目计划的预期目标能够被实现，但是相关研究还在进行中，还没有被完全完成。此外，我们还研究了下述几个与本项目相关的内容。首先我们研究了非均匀双耦合各向同性且电导率非稳态的介质中Maxwell 方程组的反系数问题，相关研究内容已经在《中国科学：数学》杂志上发表。其次，我们建立了关于二轴非各向同性介质中麦克斯伟方程组的Caleman 估计，并且打算把它应用到关于麦克斯伟方程组的同时决定本构关系中二轴电容率，磁导率张量的反问题中。另外，我们与与国外同行一起合作研究了关于在无限长管道中双曲型方程的反系数问题，取得了良好的研究结果，相关论文已经被投稿。此外，我们还研究了一阶拟线性双曲型方程的反源问题，相关研究结果已经被Journal of Mathematics and Its Applications杂志接受。

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