四元流形上的分析

We plan to investigate analysis on quaternionic manifolds, including hyperKahler，quaternionic Kahler，HKT and QKT manifolds, etc.. We will construct k-Cauchy-Fueter complexes on such manifolds and study the cohomologies of these complexes by using the Bochner technique: finiteness, the Hodge decomposition, vanishing theorem, etc., and develop the theory of pluripotential theory on quaternionic manifolds: quaternionic Monge-Ampere operator and closed positive currents, etc.. Also we will study the quaternionic CR geometry of the boundaries of quaternionic strongly pseudoconvex domains.

研究包含HyperKahler，四元Kahler，HKT和QKT等流形的一般四元流形上的分析。构造四元流形上k-Cauchy-Fueter复形，并用Bochner技巧讨论这个复形的上同调群：有限性，Hodge分解，消灭定理等。发展四元流形上的多重位势理论：四元流形上的四元Monge-Ampere算子，流形上的闭正流等。研究四元强拟凸域边界的四元CR几何。

非齐次的k-Cauchy–Fueter方程的Neumann问题是四元分析最为核心的问题。为此我们引入了k-多次调和函数，k-拟凸域及k-Levi型等概念。对于4维欧氏空间中的k-拟凸域，我们发展了L^2估计的方法，解决了这种域上的Neumann问题，即得到了k-Cauchy–Fueter复形的第一上同调群的消灭定理。我们在幺模的四元流形上构造了k-Cauchy-Fueter复形，证明了一个Weitzenbock公式，得到了在具有负标量曲率的四元Kahler流形上这一族复形的上同调群的消灭定理。这一族复形对四元流形上分析，如讨论流形上的Monge-Ampere算子是非常重要的和基本的。将0-Cauchy-Fueter复形应用于四元Monge-Ampere算子的研究，把多重位势论的许多结果扩展到无界的四元多重次调和函数。我们研究了这个方法背后的四元线性代数，简化了证明。我们还研究了四元 Monge–Ampere方程的Dirichlet问题的粘性解。区域边界上四元分析探讨切向k-Cauchy-Fueter算子和k-CF函数。我们得到了四元Heisenberg群上到平方可积k-CF函数空间的Szego投影算子的Szego核的积分表达式。在四元右Heisenberg群上构造了切向k-Cauchy-Fueter算子和复形，并证明了k-CF函数的Hartogs现象。由于最近6维空间物理兴起，我们研究了6维欧氏空间上的高自旋无质量场算子，是6维 Lorentzian空间上的无质量场算子的椭圆版本。这是四元分析的6维推广

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