Eichler积分及模形式系数相关问题研究

Modular forms play a central role in the research of modern number theory. In addition, they are of great importance in the development of mathematics. For one aspect, Eichler integral and period polynomials, which show great influence in the study of elliptic curves, critical values of L-functions, Eichler cohomology and many other fields, have attracted serious concern as a hot spot. Moreover, inspired by Lehmer conjecture, the study of non-ordinary primes, which is part of the research of Fourier coefficients of modular forms, has become a problem worthy to be considered. Based on the work of the applicant which has been published on PNAS and other journals , the purpose of this project is to study the distribution of zeros of Eichler integrals corresponding to cusp forms and the period polynomials corresponding to the L-derivatives of certain modular forms with tools including Szego theorem. More precisely, we will consider the Eichler integrals of cusp forms whose weight is 4 or higher, and period polynomials of the L-derivatives of Eisenstein series. We aim to get some results for the location of the zeros. We also investigate the non-ordinary primes of modular forms such as modular discriminant. With tools such as mock modular forms, we will get some new results on the set of the non-ordinary primes of certain modular forms.

模形式是现代数论核心领域之一，也是数学学科发展的重要组成部分。其中，Eichler积分及周期多项式理论作为热点问题，对于椭圆曲线、L-函数的临界值问题及Eichler上同调等的研究有重要推动作用，引起了广泛关注。另一方面，研究模形式Fourier系数性质是模形式理论核心内容之一。受Lehmer猜想启发，非平凡素数问题成为很值得探讨的问题。本项目旨在以申请人发表在PNAS等期刊上的工作为基础，利用Szego定理等工具，研究尖形式对应的Eichler积分及特定的模形式的L-导数对应的周期多项式零点分布问题。具体的，我们将研究权为4或更高的尖形式对应的Eichler积分及Eisenstein级数的L-导数相应的周期多项式等问题，确定其零点区域并初步探讨其零点分布趋势；此外我们还将利用mock模形式等工具研究模形式的非平凡素数问题，探索对应于特定模形式（如模判别式等）的可能的非平凡素数集合。

模形式是现代数论核心领域之一。研究模形式 Fourier 系数性质是模形式理论核心内容之一，Eichler 积分相关理论也是热点问题。本项目旨在研究模形式 Fourier 系数的同余性质及取值问题，如非平凡素数问题、Lehmer 猜想相关问题，以及 Eichler 积分零点分布问题等。在本项目资助期间，我们探讨了模形式的非平凡素数问题，将全模群上的结果推广到一系列亏格为零的算术群上去，利用亏格为零的群上的 Eisenstein 序列等工具，建立了一系列 Hecke 特征形 Fourier 系数的同余结果。同时，也对部分亏格非零的群上的情形进行了处理。另一方面，我们探讨了 Lehmer 猜想相关问题，研究 Ramanujan tau 函数的奇值问题，利用 Lucas 序列、Thue 方程、椭圆曲线等工具得到了一些新的结果。对于 Eichler 积分零点分布问题，我们用比较简单的方法得到了权为 4 或更高的尖形式对应的 Eichler 积分的零点结果。

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