量子超群及相关超代数的表示理论

As an important generalization of quantum groups, quantum supergroups have applications in many aspects in Mathematics and Physics. We will study the representation theory of quantum linear supergroups and quantum queer supergroups as well as related superalgebras including quantum Schur superalgebras and quantum queer Schur superalgebras. We will construct the canonical bases of the Fock of quantum linear supergoups and quantum queer supergroups and explore its connection with the Kazhdan-Lusztig polynomials of Hecke algebras and Hecke-Clifford superalgebras. We shall also study the Beilinson-Lusztig-MacPherson realization and canonical basis of quantum queer supergroups. We will provide the cellular structure and Z-grading on quantum queer Schur superalgebras. We will also explore the action of Hecke algebras on the space spanned by the set of orthogonal roots of classical Lie superalgebras as well as the canonical basis of this space.

作为量子群的重要推广，量子超群在数学和物理的很多分支有着广泛的应用。本项目力图在前期已有的工作基础上进一步研究量子线性超群和量子奇异超群以及相关的超代数如量子舒尔超代数和量子奇异舒尔超代数的表示理论，主要包括：研究量子线性超群和量子奇异超群的Fock 空间，尝试构造这些空间的典范基以及建立与Hecke代数和Hecke-Clifford超代数的Kazhdan-Lusztig多项式的联系；研究量子奇异超群的Beilinson-Lusztig-MacPherson实现理论和典范基理论，力图构造出量子奇异超群的典范基；建立量子舒尔超代数和量子奇异舒尔超代数的Z-分次结构；研究量子奇异舒尔超代数的胞腔结构；研究Hecke代数在经典李超代数的两两正交的根构成的集合所张成的空间上的作用及该空间的典范基。

作为量子群的重要推广，量子超群在数学和物理的很多分支有着广泛的应用。项目组对量子超群如量子线性超群、量子正交-辛超群、量子奇异超群以及息息相关的其它超代数如量子奇异舒尔超代数、Hecke-Clifford超代数的表示理论中相关问题进行了研究，同时也对与上述代数相关的其他数学对象如Yokonuma-Hecke代数以及有限域上一般线性群的表示理论进行了探索，主要研究结果如下：1）建立了量子线性超群和量子正交-辛超群的Fock空间和有限维表示范畴与ribbon图范畴之间的联系，并证明了这两类量子超群的不变量第一基本定理；2）证明了量子Bruhat cell的坐标代数经过适当的局部化后同构于量子拟Laurent多项式代数，进而给出了量子坐标代数的一大类holonomic不可约表示；3）根据量子奇异超群的根向量的交换子公式给出了量子奇异超群在单位根处的不可约多项式表示的完整分类，并进一步根据交换子公式给出了量子奇异超群的部分乘法公式，为进一步研究Beilinson-Lusztig-MacPherson实现理论奠定了基础；4）构造了量子奇异舒尔超代数的一组具有整形式的基，并给出了这些超代数的不可约表示的分类与构造和建立了量子奇异舒尔超代数的张量表示的Z-分次结构；5）建立了Zelevinsky对合在Hecke-Clifford超代数上的推广，并给出了Zelevinsky对合在Hecke-Clifford超代数的完全可裂不可约表示上的作用的完整刻画；6）给出了量子正交-辛超代数在单位根处的有限维不可约表示的完整分类；7）建立了有限域上一般线性群的群代数中心的稳定性，并借此建立了其他经典群如有限域上仿射群、辛群以及酉群的群代数中心的稳定性；8）研究了与Hecke代数和Hecke-Clifford超代数息息相关的仿射和分圆Yokonuma-Hecke代数的表示理论，给出了这些代数的不可约表示的构造和分类，并利用范畴化理论建立了与仿射李代数的联系。本项目所涉及的内容是众多学者们所关注的问题，对相关的李超代数、量子超群、赫克-克利福德超代数的表示理论的进一步研究奠定了基础，并对这类领域的发展具有一定的推动作用。

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