一类带间断随机微分方程的理论研究及数值分析

结题报告

项目介绍

AI项目解读

基本信息

批准号：
11601517
项目类别：
青年科学基金项目
资助金额：
19.0万
负责人：
陈亚铭
依托单位：
中国人民解放军国防科技大学
学科分类：
A0504.微分方程数值解
结题年份：
2019
批准年份：
2016
项目状态：
已结题
起止时间：
2017-01-01 至2019-12-31

项目参与者：
钱旭；傅浩；张弘；宋明展；罗盘；张博亚；
关键词：
有限体积方法随机微分方程福克-普朗克方程布朗运动

项目摘要

Stochastic differential equation (SDE) with discontinuity is one of the research topics of stochastic differential system, and has applications in physics, chemistry, biology, etc. However, compared to smooth stochastic system, the research of discontinuous SDE is only in its infancy. Many important problems need to be solved. This project devotes to solve a class of discontinuous SDE theoretically and numerically. The main contents go as follows: (i) study the model of Brownian motion with dry friction for the velocity theoretically, obtaining analytic expressions of displacement distribution and first-passage time problem of displacement under Gaussian white noise. In addition, solve the discontinuous model corresponding to Ornstein-Uhlenbeck colored noise and reveal some new phenomena of the interaction between discontinuity and colored noise. (ii) Construct some useful numerical methods for discontinuous SDE and solve the corresponding Fokker-Planck equation to attain some related statistical properties that need to obtain in part (i). The contents of this project can help us know more about discontinuous SDEs, and can also give practice guilds to some related engineering fields.

带间断随机微分方程是当前随机微分系统的研究热点之一，在物理、化学和生物等领域有很重要的应用背景。但其相关研究相对于光滑随机系统而言尚处在起步阶段，许多重要的问题仍待解决。本项目对一类带间断随机微分方程进行理论研究与数值分析。研究内容分为两个部分：（1）在理论上研究关于速度的带静摩擦力布朗运动的动力学性质。具体包括高斯白噪声情况下的位移概率密度函数和位移首次通过时间分布的解析表达式。另外，进一步求解对应于Ornstein-Uhlenbeck色噪声情况下的带间断模型，揭示间断与色噪声相互作用产生的新现象。（2）研究带间断随机微分方程的数值方法。分别在高斯白噪声与Ornstein-Uhlenbeck色噪声情况下，构造有效的数值方法，求解福克-普朗克方程得到理论部分所需要知道的统计学性质。本项目所研究的内容在理论上能够加深人们对带间断随机微分方程的认识，同时能为相关的工程研究领域提供实际的指导。

结项摘要

该项目以一类带间断随机微分方程为例，研究随机噪声与间断力之间相互作用所产生的动力学行为。主要研究方法为通过求解Fokker-Planck方程来得到相应随机问题的概率特性。针对带间断漂移项的Fokker-Planck方程，构造了有效的有限体积格式、浸入边界格式和有限差分格式，得到了具有收敛精度至少为2阶的一系列数值格式（有限差分格式能够达到5阶精度）。通过特征值分析和能量稳定分析等方法，对格式的稳定性做了研究。提出了利用全局守恒的思想来构造边界格式，发现了基于交错网格有限差分方法的靠边界守恒求解点，解决了高阶边界格式的不稳定问题。研究了将带狄拉克delta势的Schrödinger方程变换为带间断漂移项Fokker-Planck方程的问题，给出了一种求解带delta势问题的新思路。相关研究结果发表在Phys. Rev. E, J. Comput. Phys., Comput. Fluids等期刊上，共计11篇，其中SCIE论文10篇。联合培养毕业硕士3名，毕业博士2名。顺利完成了项目计划书的内容。