素数变量的丢番图方程

The investigation of Diophantine equation is a classical and important topic in number theory. This project is to study Diophantine equations in prime variables. There are two topics in this project. The first one is on the Waring-Goldbach problem. The Waring-Goldbach problem for k-th powers is to find s=s(k) as small as possible such that all sufficiently large integers N, subject to congruence conditions, can be represented as a sum of s k-th powers of prime numbers. For some k, we aim to improve the value of s=s(k). The second one is to study a variant of Hasse principle for quadratic forms in prime variables. Suppose that t is an integer and f=f(x_1,...,x_n) is a regular indefinite quadratic form over integers. The Bourgain-Gamburd-Sarnak conjecture asserts that f=t has solutions in primes if and only if f=t has suitable local solutions. For regular indefinite quadratic forms with more than 9 variables, Liu proved that under certain conditions, the Bourgain-Gamburd-Sarnak conjecture is true. We plan to improve the number of variables. Moreover, for suitable n, we intend to establish that the Bourgain-Gamburd-Sarnak conjecture is true for all regular indefinite quadratic forms in n variables. The investigation of Diophantine equations in prime variables involves not only the method for Diophantine equations, but also the method to deal with exponential sums over primes. We shall develop the combination of these two methods.

丢番图方程是数论领域的一个古老而重要的课题。本项目拟研究素数变量的丢番图方程。本研究包含两个方面。第一是研究华林-哥德巴赫问题。该问题是对固定的k，寻找尽量小的s=s(k)，使得充分大的满足同余条件的自然数N都可表示成s个素数的k次方之和。我们的目标是对适当的k，改进s=s(k)的值。第二是研究素数变量二次型的哈瑟原则。设t是整数，f=f(x_1,...,x_n)是整系数的正则不定二次形。Bourgain-Gamburd-Sarnak猜想(BGS猜想)断言方程f=t有足够多的素数解当且仅当其有适当的局部解。刘建亚证明，当变量个数大于9时，BGS猜想对一定条件的二次型成立。我们的目标是减小变量的个数n，同时证明对n个变量的所有的正则不定二次形，BGS猜想都成立。研究素数变量的丢番图方程，既涉及处理丢番图方程的方法，也涉及处理素数变量指数和的方法。我们在研究中将发展这两类方法的结合。

关于素数变量丢番图方程的局部整体原则，对角形方程的素数解等相关课题吸引了国内外许多数论学家的兴趣。本项目研究了素变量非奇异二次形的局部整体原则，对角形丢番图方程素数解的存在性问题，特别是华林哥德巴赫问题等相关课题。我们得到的主要结果如下：（1）对任意的非奇异二次形f，当变量个数大于或等于9个时，f有足够多素数零点的充分必要条件是f在每个p-adic单位集合中有局部解。同时我们给出了当局部条件满足时解的个数的渐近公式。（2）证明了充分大的满足必要同余条件的自然数总可表示成四个数的平方和且其中每个数的素数因子个数不超过4个。并且在得到上述结论的过程中我们得到了四平和问题在算术级数中分布均值定理的最好结果。（3）关于对角形丢番图三次方程的素数解，我们证明了若存在，则可以在方程系数绝对值最大值的平方量级的范围内找到。以上这些成果分别发表Nagoya Mathematics Journal，J. reine angew. Math.以及中国科学数学英文版这些SCI杂志上。并且，以上这些结果目前仍然是文献中最好的记录。. 上述结论以及得到上述结论所发展的方法技术在其它相关问题上得到了应用并产生了新的结果。例如，在研究素变量二次形所发展的对角化的方法也可以用于稠密集合上的二次形的研究，并且在变量个数和集合密度两个方面都得到了更好的结果。在研究殆素数变量的二次华林哥德巴赫问题时建立的四平方和在算术级数中分布的均值定理被Tak Wing Ching应用到其最新的工作中，从而产生了受限制四平方和定理更多的新性质。

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