L^2（R^d）框架乘子系统化及其在群表示酉系上的拓展研究

Frame wavelet multipliers play important roles in characterizing the structures and topological properties of the sets of all orthogonal wavelets and frame wavelets including their subsets, and also in structuring new frame wavelets. In this research proposal, We will focus on the new and important problems facing wavelet multipliers studies by using theories and methods relevant to operator algebras. The focal points will be put on the systematical characterization of multi-frame vector multipliers in L^2(R^d) and its extension to the specific frame vector multipliers for special group representation unitary systems. In L^2(R^d), we will characterize multi-orthogonal wavelet multipliers, Parseval multi-frame multipliers, Super-frame multipliers, multi-Garbor frame multipliers, single and multi-Riesz frame multipliers and reveal their relations including equivalence in order to facilitate systematic research in this field. For group representation unitary systems, we will study the structures of multi wandering vector multipliers for special group representations including finite group, ICC group and abelian group, the single Parseval Super-frame vector multipliers for finite group respectively in order to develop the theories related to frame vector multipliers.

框架小波乘子在正交小波集合和框架小波集合研究包括其子类的拓扑性质和结构性质以及新小波的构造研究中均发挥着重要的作用。项目拟针对目前国内外框架小波乘子研究中存在的主要问题，采用算子代数的相关理论和方法，分别开展L^2(R^d)(d>=1)上多框架乘子刻画的系统化和特定群表示酉系框架乘子的拓展研究。在L^2(R^d)上，重点对多正交小波乘子、多Parseval框架乘子、Super框架乘子、多Garbor框架乘子、单和多Riesz框架乘子进行刻画研究，并揭示各类多框架乘子间的内在关系包括等价性，从而促进该空间框架小波乘子刻画理论的系统化。在群表示酉系上，主要研究特定群表示的具体向量乘子刻画，包括有限群、ICC群、交换群等群表示的多游荡向量乘子、有限群表示的Parseval Super-框架乘子刻画，以丰富和发展群表示框架向量乘子的相关理论。

从泛函分析算子代数理论角度开展框架小波研究始于Dai-Larson对Hilbert空间上一个酉算子系的所有完备游荡向量集包括其特例—正交小波集合的拓扑和结构性质研究。之后该方法拓展到框架小波乃至更一般的群型系包括小波酉系、Gabor酉系、群表示酉系研究上，从而奠定了该方向发展的基本格局。框架小波乘子源于研究游荡向量集合结构时提出的游荡向量乘子概念, 它在正交和框架小波集合性质研究包括其子类的拓扑性（稠密性和连通性）和结构性以及新小波的构造研究中均发挥着重要的作用。. 该项目针对框架小波乘子相关研究中的一些问题, 主要采用算子代数的相关理论和方法，开展L^2(R^d)(d>=1)上框架乘子刻画的系统化和特定群表示酉系框架乘子的拓展研究以及多分辨分析框架小波集合的代数结构进行研究。主要完成了以下重要结果：. 1. 给出L^2(R)中多Garbor框架生成元泛函矩阵乘子的完整刻画。该结果是继我们刻画完该空间Parseval多框架小波Fourier矩阵乘子完整刻画后又一重要结果。. 我们利用非常复杂的技术手段将上述结果推广到了L^2(R^d)(d>1)中的情形。. 2. 给出L^2(R^d)(d>1)中单Garbor框架乘子的完整刻画。而且，我们采用的证明方法，在图像处理中具有潜在的应用价值。. 3. L^2(R^d)中多正交小波乘子，Super-Garbor框架乘子的刻画研究给出了一系列的充分条件和必要条件。由于多正交小波和Super-Gabor框架小波满足的特殊条件, 导致其乘子刻画的结果不再是等价条件形式。. 4.对于L^2(R^d)中多分辨分析框架小波集合的代数结构研究， 我们给出了多分辨分析的算子参数化， 而后定义了多分辨分析框架小波集合的代数同构，在代数同构意义下， 证明了任意维空间之间的多分辨分析小波集合的嵌套性质和同构特性。. 5.对于特定群表示酉系框架乘子的研究， 我们对于有限群框架表示的乘子进行了完整的刻画，该理论构建起了利用框架乘子讨论群结构的理论构架，具有理论研究上的价值。. 6.关于理论的应用研究, 我们利用小波理论改进了大数据深度学习中的粒子算法, 改进了决策数中的布林带算法 ,预测股市指数, 利用乘子理论构造的二维图像框架小波改进了图像的边缘检测效果。

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