环面群作用的拓扑和几何

We study the topological and geometric properties of compact manifolds with locally standard torus actions. The orbit space of such a group action has a nice manifold with corners structure. The main subjects of this research are the following..(1) Study some topological invariants of such manifolds and their relations to the combinatorial structures of the orbit spaces. Especially, study the invariants of 3-dimensional small covers and real moment-angle manifolds..(2) Study the existence of some type of geometric structures on such manifolds, including Riemannian metrics of positive and nonnegative scalar curvature, foliations and open book decompositions etc..(3) If a finite dimensional topological space X admits a free torus group action, Carlsson Conjecture claims that the sum of all the Betti numbers of X is at least 2^n. Based on the known results, we will further study and confirm this conjecture..(4) Study the relations between the fundamental groups of small covers and the orbit spaces, especially when the small cover is aspherical..(5) Study the homeomorphism classification of a special class of such manifolds (called generalized real Bott manifolds), and the classification of a related class of crystallographic groups in Euclidean spaces.

本项目研究的是具有局部标准的环群作用的紧流形的拓扑性质和几何性质，此类群作用的轨道空间具有好的带角流形的结构。具体研究内容有：. (1) 研究此类流形的一些拓扑不变量以及和底空间组合结构的关系, 特别是研究三维small cover的real moment-angle manifold。. (2) 研究此类流形上几种几何机构的存在问题, 包括正数量曲率或非负数量曲率的黎曼度量，叶状结构和open book分解等。. (3) 如果一个有限维拓扑空间X上存在一个秩为n的环群的自由作用，Carlsson猜想声称X的各个维数的Betti数之和至少为2的n次幂。我们将在已有基础上进一步研究和验证此猜想。.(4) 研究small cover的基本群与轨道空间之间的关系，特别是small cover是aspherical的情形。. (5) 研究其中一类特殊的流形（称为广义实Bott流形）的同胚分类问题。

本项目对有环面群作用的拓扑空间(特别是流形)的拓扑性质、几何性质以及与轨道空间结构之间的关系进行了多方面的研究。这些研究对象在代数拓扑、代数几何、辛几何、代数组合和数学物理等诸多领域的研究和发展中都起着重要的作用。本项目的主要研究成果如下:.1. 将环面拓扑学中的moment-angle流形和polyhedral product的基本构造进行推广, 并计算了所得到的一大类新空间的稳定分解, 上同调环和等变上同调环的等问题。.2. 从轨道空间的角度完全刻画了等变形式的Z2环面流形。.3. 完全分类了三维small cover中的Haken流形, 并证明了这类流形上存在非正截面曲率的黎曼度量。.4. 完全刻画了三维正数量曲率黎曼流形中所有二面角不超过90°的平均曲率凸 (或全测地)的多面体的组合类型。.5. 从环面拓扑学的角度给出了单形乘积几种新的描述方式。.6. 建立了一种新的关于轨形(orbifold)的同调理论。该理论可以用于发掘轨形除了拓扑结构以外的一些能反映其奇点特征的信息。

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