Visualizing twists in data through monodromy

通过单一性可视化数据的扭曲

基本信息

批准号：
22K18267
负责人：
佐伯修
金额：
$ 16.64万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Research (Pioneering)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-06-30 至 2028-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

佐伯は、n次元多様体からn-1次元ユークリッド空間へのround fold map（球面状折り目写像）を詳しく調べ、そうした写像を許容する多様体の微分同相類の完全な決定と、そうした写像の右左同値による分類に成功した。特に後者は、round fold mapのモノドロミーが、曲面上のある種のモース関数を保つことを示すことが鍵となった。これにより、round fold mapのデータ可視化への応用、特にモノドロミーの可視化の可能性も開けたことになり、こうした結果を得られた意義は大きい。またn=3の場合は、既知であった単純な安定写像を許容するものと完全に一致するといった意外な結果も得ることに成功した。また、分担者の山本は、境界付きコンパクト曲面から平面への可微分写像で、境界の近傍に特異点を持たないものについて調べ、そうした写像が２つ与えられたときに、それらが境界の近傍で非特異であるという性質を保ったまま互いに変形できるための条件を明らかにした。実データの解析や可視化の際には、データが与えられるドメインはコンパクトで境界付きの多様体となることが想定されるため、こうした結果は、そうしたデータの位相的振る舞いを記述する際に重要な役割を果たすことが期待される。また、分担者の櫻井は、区分的線形写像を可視化するための実装に取り掛かり、可微分写像の具体的な特異点について、その近くでの写像を区分的線形写像として実現した際の可視化について、実装のための足がかりを築いた。

Saeki详细研究了从n维流形到n-1维欧几里德空间的圆折叠映射，确定了允许这种映射的流形的完整微分同胚类，并确定了这种映射的右侧和左侧。基于等效性的分类是成功的。特别是，后者的关键是证明圆形折叠图的单向性在表面上保留了一定的莫尔斯函数。这开启了将圆形折叠图应用于数据可视化，特别是单一性可视化的可能性，获得这些结果的意义是重大的。另外，在n=3的情况下，我们成功地得到了一个意想不到的结果，与已知的简单稳定映射完全一致。此外，合著者 Yamamoto 研究了从有界紧致曲面到边界附近不具有奇点的平面的可微映射，当给出两个这样的映射时，我们已经阐明了它们可以的条件相互转化，同时保持其非奇异性。在分析和可视化真实数据时，假定给定数据的域是紧凑的有界流形，因此在描述预期发挥作用的此类数据的拓扑行为时，这些结果非常重要。此外，为该项目做出贡献的樱井开始致力于实现分段线性映射的可视化，以及可微映射的特定奇点，以及将奇点附近的映射实现为分段线性映射时的可视化。为实施奠定了基础。