ランダム媒質中の確率過程に関する漸近的性質

随机介质中随机过程的渐近性质

基本信息

批准号：
08740150
负责人：
濱名裕治
金额：
$ 0.58万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1996
资助国家：
日本
起止时间：
1996 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08740150/
关键词：
ランダム・ウォーク訪問点概不変原理

项目摘要

正方格子上のランダム・ウォークの道の多重点の個数に関する極限定理は、そもそもランダム媒質中のランダム・ウォークの道の大域的性質、特に再帰性の判定条件を与えるために研究されてきた。そこで必要となるのは大偏差原理の成立を保証することなのであるが、その解決にはまだまだ先が長いと言わざるを得ない。しかし、その前段階である概不変原理が訪問点の個数に関して、次元が4以上のときに証明することができた。訪問点の個数の漸近挙動が次元によって異なることはこれまでの研究でわかっていることである。この概不変原理が成立すると、中心極限定理や重複対数の法則がその系として得られるだけではなく、Donskerの不変原理やStrassenの不変原理など独立同分布確率変数の部分和で得られている極限定理が大偏差原理を除いてすべて得られることになる。また、その主張は適当に正規化された訪問点の個数が確率1でブラウン運動で近似できるというものであるから、ブラウン運動で成立していることの大半が成立することもわかる。一方、大偏差原理については訪問点の個数の積率母関数を得ることが必要なのであるが、その原点での漸近挙動が得られた。そしてそれは1次元ブラウン運動の近傍の体積(Wiener sausage)の場合の挙動と一致する。Wiener sausageはランダム・ウォークの道の訪問点の個数のcontinuous analogであり、原点での挙動が一致することはそれなりに説得力のある事実である。しかし、無限大での挙動が異なると考えられる状況証拠を得ることができた。

首先研究了关于方格上随机游走路径的多个点的数量的极限定理，为随机介质中随机游走路径的全局属性，特别是递归性提供标准。需要的是保证大偏差原则的成立，但必须说，要解决这个问题还有很长的路要走。然而，前一阶段的近不变原理可以通过维数为 4 或更大时访问点的数量来证明。先前的研究表明，访问点数量的渐近行为因维度而异。如果这个近似不变原理成立，不仅可以得到中心极限定理和重叠对数定律作为一个系统，而且还可以得到独立且均匀分布的随机变量的部分和所得到的极限，例如Donsker不变原理和Strassen不变原理除大偏差原理外，所有定理均得到。此外，由于论证是正确归一化的访问点的数量可以通过概率为 1 的布朗运动来近似，因此可以看出，大多数适用于布朗运动的事情都成立。另一方面，对于大偏差原理，需要获得访问点数量的矩生成函数，并且我们在原点获得了渐近行为。这与一维布朗运动附近的体积（维纳香肠）的行为是一致的。维纳香肠是随机游走路径上访问点数量的连续模拟，并且令人信服的事实是，原点的行为是相同的。然而，我们能够获得间接证据，证明无穷远处的行为被认为是不同的。