空間グラフホモロジー群とグラフマイナ-との関係についての研究

空间图同源群与图次数关系研究

基本信息

批准号：
08740073
负责人：
安原晃
金额：
$ 0.64万
依托单位：
Tokyo Gakugei University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1996
资助国家：
日本
起止时间：
1996 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

3次元空間内に埋め込まれたグラフを空間グラフといい,空間グラフの集合の同値関係にグラフホモロジーと呼ばれるものがある.グラフを固定したとき,この同値関係における同値類の集合は,ある演算のもとで有限生成な自由アーベル群(この群を空間グラフホモロジー群と呼ぶ.)の構造をもつ.この空間グラフホモロジー群のランクと,抽象グラフとしてのグラフの複雑さとの間の関係を調べることが本研究の目的であった.ここではグラフの複雑さをはかる目安として,マイナ-と呼ばれるグラフの半順序関係を用いた.グラフHがグラフGのマイナ-であるとは,HがGから「辺の除去」または「辺の縮約」と呼ばれる操作の繰り返しにより得られることを意味するものであるが,昨年度までの私の研究により次の命題が得られていた.[命題]グラフHがグラフGから辺を除去して得られるならば,Hの空間グラフホモロジー群のランクはGの空間グラフホモロジー群のランク以下になる.従って,「辺の縮約」に関しても「辺の除去」の場合と同様のことを示すことが課題であったが,今回の研究により次の結果が得られた.[命題]グラフHがグラフGから辺を縮約して得られるならば,Hの空間グラフホモロジー群のランクはGの空間グラフホモロジー群のランク以下になる.上の2つの命題を合わせることにより目標である次の結果が得られた.[定理]グラフHがグラフGのマイナ-ならば,Hの空間グラフホモロジー群のランクはGの空間グラフホモロジー群のランク以下になる.また,グラフHがグラフGのマイナ-であっても,Hの空間グラフホモロジー群のランクとG空間グラフホモロジー群のランクが等しくなることがある.本研究では,このようなことが生じる場合の条件付けも行った.

嵌入三维空间中的图称为空间图，一组空间图之间的等价关系称为图同源性。当图固定时，该等价关系中的等价类集合具有以下结构：有限生成的自由阿贝尔群（该群称为空间图同调群）。我们研究该空间图同调群的秩与作为抽象图的图的复杂性之间的关系。这是本研究的目的。在这里，我们使用称为次要的图偏序关系来衡量图的复杂性。如果 H 是图 G 的图，则图 H 是图 G 的次要关系。“删除边” “ 或者 ”这意味着它可以通过重复一个称为“边缘减少”的操作来获得，并且我直到去年的研究都得出了以下命题[命题]图H从图G中删除了边缘。如果它可以通过以下方式获得。 H 的空间图同源群的秩低于 G 的空间图同源群的秩。因此，挑战在于证明“边缘减少”和“边缘”可以说是一样的然而，本研究得到了如下结果： [命题]如果图G可以通过边收缩得到图H，则H的空间图同调群的秩就是该空间图的秩。 G.级或更低的同调群结合以上两个命题，通过使用，即使图 H 是图 G 的次要图，H 的空间图同调群的秩和 G 的空间图同调群的秩也可能相等。