表現論および可積分系とMacdonald-Koornwinder多項式

表示论、可积系统和 Macdonald-Koornwinder 多项式

基本信息

批准号：
22KJ1550
负责人：
山口航平
金额：
$ 0.96万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2023
资助国家：
日本
起止时间：
2023-03-08 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

当初の研究計画において主に次の2つの課題について取り組むことになっている。「Macdonald-Koornwinder多項式の双スペクトル問題」「Koornwinder 多項式とアフィン Lie 環の表現論との関係」。今回はそのうちの「Macdonald-Koornwinder多項式の双スペクトル問題」について柳田伸太郎氏との共同研究により研究成果を得ることができた。以下ではその研究内容を述べる。Cherednik は任意のルート系とGL型に対する量子アフィンKnizhnik-Zamolodchikov方程式(QAKZ方程式)を導入し、QAKZ方程式の解とMacdonald型qの差分作用素の固有関数との対応関係(Cherednik対応)を与えた。その後 van Meer、Stokman によって、 Cherednik対応の双スペクトル類似(Cherednik双スペクトル対応)が見出された。柳田伸太郎氏との共同研究において(C_1^\vee,C_1)型のQAKZ方程式とAskey-Wilsonの差分作用素の固有関数のCherednik双スペクトル対応について詳細に考察を進めた。その結果, 既に柳田伸太郎氏との共同研究[YYb]において(C_1^vee,C_1)型のMacdonald-Koornwinder多項式(Askey-Wilson多項式)のパラメータを特殊化してA_1型が回復する4通りの方法を見いだしているが、今回その4つの特殊化のうち、(C_1^vee,C_1)型のCherednik双スペクトル対応に適合するものが1つだけあることを示すことができた[YYa]。[YYa] 「A review of rank one bispectral correspondence of quantum affine KZ equations and Macdonald-type eigenvalue problems」 (with S.Yanagida), arXiv:2211.13671.[YYb] 「Specializing Koornwinder polynomials to Macdonald polynomials of type B,C,D and BC」 (with S.Yanagida), J. Algebraic Combin. 57, 171-226 (2022); arXiv:2105.00936.

初步的研究计划将主要解决以下两个问题。 “Macdonald-Koornwinder 多项式的双谱问题”“Koornwinder 多项式与仿射李环表示论之间的关系”。这次，我们通过与柳田慎太郎的共同研究，获得了“Macdonald-Koornwinder多项式的双谱问题”的研究成果。该研究的详细内容如下所述。 Cherednik引入了任意根系和GL型的量子仿射Knizhnik-Zamolodchikov方程（QAKZ方程），并给出了QAKZ方程的解与Macdonald型q的差分算子的本征函数之间的对应关系（Cherednik对应）。后来，范米尔和斯托克曼发现了切雷德尼克对应的双谱类似物（切雷德尼克双谱对应）。在与 Shintaro Yanagita 的联合研究中，我们详细研究了 (C_1^\vee,C_1) 类型的 QAKZ 方程与 Askey-Wilson 差分算子的本征函数之间的 Cherednik 双谱对应关系。结果，在我们与 Shintaro Yanagita 的联合研究 [YYb] 中，我们专门研究了 (C_1^vee,C_1) 类型的 Macdonald-Koornwinder 多项式（Askey-Wilson 多项式）的参数并创建了 A_1 类型。我们找到了四种恢复方法，这次我们能够证明，在四种专业化中，只有一种符合类型 (C_1^vee,C_1) 的 Cherednik 双谱对应。 [YYa]“量子仿射 KZ 方程和 Macdonald 型特征值问题的一级双谱对应回顾”（与 S.Yanagida），arXiv:2211.13671。[YYb]“将 Koornwinder 多项式专门化为 B、C 型 Macdonald 多项式， D 和 BC”（与 S.Yanagida），J. Algebraic Combin。 57, 171-226 (2022); arXiv:2105.00936。