力学系理論に基づく新しい有限時間特異性の解析

基于动力系统理论的新型有限时间奇点分析

基本信息

批准号：
22KJ2844
负责人：
市田優
金额：
$ 1.41万
依托单位：
Meiji University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2023
资助国家：
日本
起止时间：
2023-03-08 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度は昨年度に引き続き，古典的な連続力学系理論，ポアンカレ型コンパクト化が誘導する相空間の無限遠ダイナミクス，ベクトル場の特異点解消に関する幾何学的アプローチを融合した手法に基づいて有限時間特異性を引き起こすことが期待されている複数の偏微分方程式の特殊解の挙動やその性質を統一的にどこまで調べられるかという問題に取り組みつつ，申請時点で提示した研究課題である「3次元ODEsの無限遠まで含めた力学系の情報の取得方法」，「精密な漸近挙動の導出するための汎用的な手法の開発」の解決に向けたヒントを探った．今年度得られた成果を大別して以下に３点列挙する．１つ目に，MEMS型偏微分方程式に関する特殊解の諸性質の解明である．MEMSとは微小電気機械システムのことであり，負冪項や勾配項の非線形性によりそのダイナミクスは非常に複雑で豊かなものとなることが知られている．今年度は空間1次元での消散双曲型の場合の進行波の挙動変化，空間1次元でのMEMS型反応拡散方程式における定常解，空間一般次元における反応拡散方程式における球対称定常解について考察し，それぞれで解挙動の豊かさの一端を明らかにすることができた．これらはそれぞれ論文として出版された．２つ目は，空間1次元退化放物型方程式の非負進行波解に関して，これまで代表者により得られた分類結果は方程式に含まれるパラメータに関する制約が課されていたが，この制約を外し，より一般的な分類結果を得ることができた．この結果は論文として出版された．３つ目は，走化性方程式系と呼ばれる多くの数理モデルで顔を出す方程式系における球対称定常解という基本的な解挙動について上記のアプローチを用いて明らかにした．特に無限遠方での減衰レートが空間次元に応じて変化すること，そしてそれぞれでのレートのより詳細な表示は特筆すべき結果である．この結果は論文として出版された．

继去年的基础上，今年的研究将重点关注有限时间奇点，该方法结合了经典连续动力系统理论、庞加莱紧致化引起的相空间无限动力学以及求解矢量场奇点的几何方法。预计会导致的多个偏微分方程在研究如何以统一的方式研究特殊解决方案的行为及其属性的问题时，我们正在研究申请时提出的研究主题：“如何获取动力系统的信息，包括直到无穷大的 3D ODE”，``我们寻找解决“开发用于推导精确渐近行为的通用方法”问题的线索。今年取得的成果大致可分为以下三点。首先是阐明MEMS型偏微分方程特殊解的性质。 MEMS是一种微机电系统，由于负功率项和梯度项的非线性，其动态特性极其复杂和丰富。今年，我们将考虑一维空间中耗散双曲型情况下行波行为的变化、一维空间中 MEMS 型反应扩散方程的稳态解以及球对称稳态解。通过研究一般空间维度中反应扩散方程的状态解，我们能够阐明每种情况下解行为的丰富性。这些均以论文形式发表。其次，对于空间一维简并抛物线方程的非负行波解，迄今为止代表性的分类结果受到方程中包含的参数的约束，但是这个约束被消除了，我们能够获得更一般的分类结果。结果以论文形式发表。第三，使用上述方法，我们阐明了许多数学模型中出现的称为趋化方程组的方程组中球对称稳定解的基本解行为。特别值得注意的是，无穷远处的衰减率根据空间维度而变化，并且更详细地显示了每个点的衰减率。结果以论文形式发表。