Characterizations of Traced Monads

追踪单子的特征

基本信息

批准号：
22KF0194
负责人：
長谷川真人
金额：
$ 0.96万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2023
资助国家：
日本
起止时间：
2023-03-08 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22KF0194/
关键词：
圏論モナドモノイダル圏トレース

项目摘要

トレース付きモノイダル圏（traced monoidal category）とは、テンソル積と、行列の対角和（トレース）を抽象化したトレース演算子を持つ圏であり、数学・物理学・計算機科学等の様々な分野で重要な応用を持つ構造である。一方、圏上のモナドは、その圏の対象のうえの代数の圏（Eilenberg-Moore category）を定めるが、もとの圏の持つ構造・性質がモナドの代数の圏に持ち上げられるかどうかは、理論・応用両面から重要な問題であり、古くよりよく研究されてきた。本共同研究では、トレース付きモノイダル圏の構造を持ち上げるモナドの特徴づけという長年の未解決問題について、近年発展が著しいホップモナドとの関係を中心に調べた。受け入れ研究者（長谷川）はトレース付きモノイダル圏を長く研究してきた一方、特別研究員（Lemay）はモノイダル圏上のモナドや余モナドについて詳しく、両者の知見を合わせ議論を進めた。ホップモナド（Hopf monad）はモノイダル圏上の双対性を持ち上げるモナドであり、モノイダル圏における双対性とトレースの密接な関係から、トレースを持ち上げるモナドとも深く関係することが予想されていた。本研究では、ホップモナドがトレースを持ち上げるための必要十分条件を特定するとともに、トレースを持ち上げないホップモナドや、ホップモナドではないがトレースを持ち上げるモナドの実例を多数構築することに成功した。この方面でのおそらく最良の成果であり、今後、トレース付モノイダル圏の一般的な構成方法として、広く応用されることが期待される。

追踪幺半群范畴是具有抽象张量积和矩阵对角线和（迹）的追踪算子的范畴，在数学、物理和计算机科学等各个领域都有重要的应用。另一方面，范畴上的单子在该范畴的对象上定义了一个代数范畴（Eilenberg-Moore范畴），但尚不清楚原始范畴的结构和属性是否可以提升到单子的代数范畴中从理论和实践角度来说，这都是一个重要的问题，自古以来就得到了很好的研究。在这项联合研究中，我们研究了长期以来未解决的用痕迹提升幺半群范畴结构的单子表征问题，重点关注与近年来迅速发展的Hopf单子的关系。主持研究员（长谷川）长期研究有踪迹的幺半群范畴，而特约研究员（Lemay）对幺群范畴的单子和外单子有着详细的了解，并结合双方的知识推进了讨论。 Hopf单子是在幺半群范畴上解除对偶性的单子，由于在幺半群范畴上对偶性与迹的密切关系，预计它与解除迹的单子有很深的关系。在这项研究中，我们确定了Hopf单子提升痕迹的充分必要条件，并成功构造了许多不提升痕迹的Hopf单子的例子，以及不是Hopf单子但提升痕迹的单子的例子。这可能是该领域最好的结果，预计它将在未来作为带迹的幺半群范畴的通用构造方法得到广泛应用。