Development of discrete Dirac dynamical systems and variational integrators

离散狄拉克动力系统和变分积分器的开发

基本信息

批准号：
22K03443
负责人：
吉村浩明
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本研究では、非ホロノミックな拘束を受ける連続力学系の離散化に関連して、離散ディラック構造とそれに基づく離散ディラック力学系の枠組みを提案し、さらに、その変分構造を明らかにすることで、離散ディラック構造を保存する変分的積分法の開発を目的として研究を実施している。連続系の枠組みでは、配位多様体上の接バンドル及び余接バンドルの高階のバンドル構造を考え、いわゆる，Tulczyjewのtripleと呼ばれる高階バンドル上で一般化された正準変換を導入した。これにより、ラグランジアンの微分から定義されるディラック微分を用いることで、接バンドル上の１形式を余接バンドル上に誘導した。さらに、余接バンドル上の誘導されたディラック構造によって、連続系のラグランジュ・ディラック系を導いたが、ここで、ディラック構造がフローによって構造不変であることを示した。その上で、これら連続系のディラック構造、及びラグランジュ・ディラック系の離散化を試みた。まず、離散ディラック構造の枠組みの構築には、余接バンドル上の正準２形式から誘導されるディラック構造をどのように離散化するかが鍵となる。また、離散化に際しては，配位空間の接バンドルを、配位空間の直積空間によって近似し、その上で、余接バンドル上の離散ディラック構造を導入することを考える必要がある。2022年度は、まず、連続系のディラック系を定式化する際に重要となる、Tulczyjewのtripleと呼ばれる高階の接バンドル及び余接バンドルの間に成立する、シンプレクティック同相写像について、その離散化を行うことを試みた。そのうえで、まず、離散系の枠組みについては，正準２形式の離散化と離散化した非ホロノミック拘束から誘導される，余接バンドル上の離散化されたディラック構造の構築を行った。また、それを用いて、離散ラグランジュ・ディラック系の候補を導出することに成功した。

在这项研究中，我们结合受非完整约束的连续动力系统的离散化，提出了离散狄拉克结构以及基于它的离散狄拉克动力系统框架，并通过阐明其变分结构，进行了研究目的是开发一种保留离散狄拉克结构的变分积分方法。在连续系统框架中，我们考虑了配位簇上正切丛和余切丛的高阶丛结构，并引入了高阶丛的广义正则变换，称为Tulczyjew三元组。结果，通过使用由拉格朗日微分定义的狄拉克微分，将切丛上的一种形式诱导到余切丛上。此外，我们利用余切丛上的诱导狄拉克结构推导了连续的拉格朗日-狄拉克系统，并且在这里我们证明了狄拉克结构在结构上不随流动而变化。基于此，我们尝试对这些连续系统的狄拉克结构和拉格朗日-狄拉克系统进行离散化。首先，在构建离散狄拉克结构的框架时，关键是如何对余切丛上的正则两种形式导出的狄拉克结构进行离散化。此外，在离散化时，需要考虑通过位形空间的直积空间来逼近位形空间的切丛，然后在余切丛上引入离散狄拉克结构。 2022 年，我们将首先关注高阶正切丛和余切丛（称为 Tulczyjew 三元组）之间的辛同胚的离散化，这在我尝试制定连续狄拉克系统时非常重要。首先，关于离散系统框架，我们在余切丛上构造了一个离散狄拉克结构，该结构源自规范两种形式的离散化和离散化非完整约束。此外，利用这一点，我们成功地推导了离散拉格朗日-狄拉克系统的候选系统。