HDG法における反復型領域分割法の開発

HDG方法中迭代区域分割方法的发展

• 批准号: 22K03432
• 负责人: 及川 一誠
• 金额: $ 2.58万
• 依托单位: University of Tsukuba
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03432/
• 关键词: 数値解析; HDG法

2次元Poisson方程式のDirichlet境界値問題をモデル問題とし，HDG (Hybridizable Discontinuous Galerkin) 法の非重複領域分割法 (non-overlapping domain decomposition method) に基づく反復解法に関する研究を行った．対象領域は重複のない2つのサブドメインに分割されているという比較的単純な状況を仮定した．非重複領域分割法では，サブドメイン間のインタフェース上で連続性に関するある条件を満たすように，それぞれのサブドメイン上でPoisson方程式を解くことが要求される．これを実現するために通常の有限要素法では，Dirichlet-Neumann交代アルゴリズムおよび Neumann-Neumann法，FETI (Finite Element Tearing and Interconnecting)法 (あるいは，Dirichlet-Dirichlet法) の3手法が有効であることが知られている．これらの3手法のアイデアに基づき，サブドメイン間のインターフェースにおいて数値トレースおよび数値流束を適切に導入することで，HDG法においても非重複領域分割法の反復解法が導出できることがわかった．有限要素法ではインターフェース上の厳密解の勾配は方程式の残差の形に書き直してから離散化を行う必要があったのに対し，提案手法ではそのような操作が必要ないという点で異なる．適合有限要素法と提案手法について数値計算を実施して比較したところ，提案手法は適合有限要素法と同様に良好な収束性を示すことが確認できた．

以二维泊松方程的狄利克雷边值问题为模型问题，研究了基于HDG（混合不连续伽辽金）方法的非重叠域分解方法的迭代求解方法。我们假设一种相对简单的情况，其中目标区域被划分为两个不重叠的子域。非重叠区域分割方法需要在每个子域上求解泊松方程，使得子域之间的界面上满足一定的连续性条件。为了实现这一点，在通常的有限元方法中，三种方法是有效的：狄利克雷-诺伊曼交替算法、诺伊曼-诺伊曼方法和FETI（有限元撕裂和互连）方法（或已知的狄利克雷-狄利克雷方法）。基于这三种方法的思想，我们发现，通过在子域之间的界面处适当地引入数值迹和数值通量，即使在HDG方法中也可以推导出非重叠区域分解的迭代解。在有限元方法中，界面上精确解的梯度必须以方程残差的形式重写，然后离散化，而所提出的方法的不同之处在于不需要这样的操作。当我们进行数值计算并比较自适应有限元方法和所提出的方法时，我们证实所提出的方法表现出良好的收敛性，与自适应有限元方法类似。