Construction of basic theory for ultradiscrete sytems with parity variables

奇偶变量超离散系统基础理论构建

基本信息

批准号：
22K03407
负责人：
礒島伸
金额：
$ 2.41万
依托单位：
Hosei University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本研究は「符号付き超離散(pUD)系の解析理論構築」を目指すものである．2022年度は，主に当該年度に遂行を予定していた「差分非線形バネ方程式の解を級数展開し，その主要項を調べる」研究を推進した．その結果，主要項と無限分岐を含む『不定解』の関係について，方程式に従って主要項どうしの計算を行う際に，パラメータの設定に応じて「相殺しない」「特殊な初期値の場合に相殺する」「どんな初期値でも相殺する」というケースがあり，不定解の現れ方に関係する具体例を把握することができた．しかし，超離散化は差分系の近似情報からその本質を捉えるという精神に沿った技法であり，主要項と不定解の関係を精密化していく方針には限界があることも示唆された．また，主に2023年度の遂行を予定していた「相平面上でのある領域を別の領域へ写す写像と『粗視化して』解釈する」方法の研究が，大学院生の鈴木清一朗氏との共同研究により大きく進展した．この方法を極限周期解を持つファン・デル・ポール方程式に対して提案し，その解の一部を領域間の遷移図によって視覚化することを通し，周期軌道の存在を示すことに成功した．さらに，超離散非線形バネ方程式に対し，先行研究では大域的な把握が困難であった解を，領域間の遷移図によって視覚化し，解をより適切に分類することができた他，不定解が現れる条件も一層明確になった．これらの成果はそれぞれ論文にまとめられ，2022年度中に出版された．加えて，リヤプノフ関数を持つという特徴がある競争型ロトカ・ボルテラ方程式の離散化に対し，時間単調性を証明できる離散的なリヤプノフ関数の候補を明示的に得るという成果を得て論文にまとめ，発表した．この研究は発展的な研究課題として研究期間4年目以降での着手を想定しているものだが，上記鈴木氏との共同研究によって予定より先行して着手することができた．

这项研究的目的是“为有符号超离散（pUD）系统建立分析理论。” 2022年，我们主要推进当年计划开展的研究，“将微分非线性弹簧方程的解展开为级数，并研究其主要项”。结果，在计算主项与包含无限分支的“不定解”之间的关系时，根据方程计算主项相互之间时，可以“不取消”或“ “根据参数设置，在特殊初始值的情况下无法取消” ” 存在“任何初始值都取消”的情况，我能够掌握与不确定解如何出现有关的具体示例。然而，超离散化是一种遵循从近似信息中捕捉微分系统本质的精神的技术，并且也有人认为，细化主项和不定解之间关系的策略存在局限性。此外，研究生Seiichiro Suzuki还参与了相平面上一个区域到另一个区域的映射和“粗粒度”解释方法的研究，该研究计划主要在2023年进行，已取得重大进展通过联合研究我们针对具有极限周期解的范德波尔方程提出了这种方法，并通过使用区域之间的转移图可视化部分解，成功地证明了周期轨道的存在。此外，对于超离散非线性弹簧方程，我们能够使用区域之间的转移图来可视化以前的研究中难以全局掌握的解，并且能够更适当地对解进行分类。看来也变得更加清晰了。这些结果总结在论文中并于 2022 年发表。另外，对于竞争性Lotka-Volterra方程的离散化，该方程具有Lyapunov函数的特点，我们得到了显式获得可以证明时间单调性的离散Lyapunov函数候选的结果，我们在论文中对此进行了总结宣布。这项研究是一个开发研究项目，预计在研究期的第四年之后开始，但多亏了上述与铃木先生的共同研究，我们才得以提前开始。