相を分けるランダムな界面の解析

分离相的随机界面分析

基本信息

批准号：
22K03361
负责人：
横山聡
金额：
$ 1.66万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03361/
关键词：
確率解析確率偏微分方程式確率論

项目摘要

水と氷など性質が異なる２つの物質に現れる境界面の時間発展に関し確率偏微分方程式を道具に調べている。確率項が含まれない決定的な系では多くの研究結果が存在しており手法を参考にしているが、確率項であるノイズは時間に関する正則性が良くなく、それが起因して議論を進める中で多くの壁に直面し工夫が必要である。我々は反応拡散方程式であるアレンカーン方程式を基礎として考える。反応項から平均を差し引いた体積保存型とし、外力項としては輸送項が乗じられた確率項を考えたモデルを採用する。これらに微小パラメーターを付加された体積保存型確率アレンカーン方程式とその特異極限で得られる方程式について研究を引き続き実施している。低温状態に相当する正の数の微小パラメーターを係数に持つ双安定の反応項によって駆動される２階放物型偏微分方程式には、輸送項にホワイトノイズである乗法的ノイズが付加されている。微小パラメーターを０に近づけることにより確率偏微分方程式の解は反応項の安定点に集中し、その結果２つの安定点を分離する相である超曲面が現れることがわかる。極限移行操作による確率項付き平均曲率方程式への収束については漸近展開と確率解析の手法を用いて議論を進めている。ノイズの正則性の悪さから確率分布の意味で収束する滑らかな近似列でノイズを置き換えた近似方程式を考え議論を行っている。技術的な調整、工夫をすべきところがあり、限定的な仮定の下で証明を遂行している。

我使用随机偏微分方程作为工具来研究两种具有不同属性的物质（例如水和冰）之间出现的边界表面的时间演化。对于不包含随机项的确定性系统有很多研究成果，并且方法可以作为参考，但是噪声作为随机项，相对于时间的规律性很差，这就是为什么我们将继续讨论我们面临着许多障碍，需要提出新的想法。我们以 Alen-Kahn 方程为基础，它是一个反应扩散方程。采用体积守恒模型，其中从反应项中减去平均值，并采用概率项乘以传递项作为外力项。我们正在继续研究在方程中添加无穷小参数的体积守恒随机Allen-Kahn方程，以及在奇异极限下得到的方程。由双稳态反应项驱动的二阶抛物型偏微分方程，其系数是对应于低温状态的正无穷小参数，其输运项中添加了乘性噪声，即白噪声。可以看出，通过使无穷小参数接近0，随机偏微分方程的解集中在反应项的稳定点上，从而产生一个超曲面，它是分隔两个稳定点的相，出现。我们正在讨论使用渐近展开和随机分析方法通过极限传递运算收敛到具有随机项的平均曲率方程。由于噪声的规律性较差，我们正在讨论一种近似方程，用在概率分布意义上收敛的平滑近似序列来代替噪声。有些领域需要进行技术调整和改进，并且证明是在有限的假设下进行的。