モノドロミー保存変形のタウ関数と無限次元代数の表現論

保单性变换的Tau函数与无限维代数表示论

基本信息

  • 批准号:
    22K03350
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 2.66万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    日本
  • 项目类别:
    Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
  • 财政年份:
    2022
  • 资助国家:
    日本
  • 起止时间:
    2022-04-01 至 2027-03-31
  • 项目状态:
    未结题

项目摘要

以前までに、super Virasoro 代数である Neveu-Schwartz-Ramond (NSR)代数のランクが同一である不確定 Verma 加群間の不確定特異点型頂点作用素の存在、一意性および、NSR 代数の不確定 Verma 加群と自由フェルミオン代数のフォック空間の直和が、2つの Virasoro 代数の不確定 Verma 加群の無限個の直和に分解することを示していた。これらの事実から、NSR 代数の不確定特異点型頂点作用素が2つの Virasoro 代数の不確定特異点型頂点作用素の無限和に分解されることが示唆されており、2022年度はこの事実の証明に挑戦し、任意のランクについて証明が完成した。この結果から、Virasoro 代数の不確定共形ブロックが双線形微分方程式をみたすことが導かれる。特に中心電荷が1となるとき、パンルヴェ方程式のタウ関数がみたす双線形微分方程式となることが期待されるので、我々の結果は不確定共形ブロックのフーリエ展開がパンルヴェ方程式のタウ関数となるという予想(第4,5パンルヴェ方程式の場合)の証明に向けて大きな一歩となる。得られた不確定共形ブロックがみたす双線形微分方程式から、逆に不確定共形ブロックが決定されることもランク1,2の場合に確かめた。すなわち、特定の場合ではあるが、微分方程式による(表現論を介さない)不確定共形ブロックの定義が得られたことになる。確定共形ブロックに対してもそのような双線形微分方程式が知られていたが、不確定共形ブロックに対する双線形微分方程式はそれとは種類が異なることがわかり興味深いと思われる。
之前,我们讨论了 Neveu-Schwartz-Ramond (NSR) 代数中具有相同秩的不定 Verma 模之间的不定奇点型顶点算子的 NSR 代数的存在性、唯一性和不确定性,该代数是超 Virasoro 代数。 Verma 模和自由费米子代数的 Fock 空间的直和是两个 Virasoro 代数的不确定 Verma。结果表明,它可以分解为模块的无限直和。这些事实表明,NSR代数的不确定奇点型顶点算子可以分解为Virasoro代数的两个不确定奇点型顶点算子的无限和,并且在2022年我们将重点证明这一事实并完成挑战。任何等级的证明均已完成。从这个结果可以看出,Virasoro 代数的不定共形块满足双线性微分方程。特别是,当中心电荷变为1时,预计Painlevé方程的tau函数将成为双线性微分方程,因此我们的结果表明不确定共形块的傅立叶展开成为Painlevé方程的tau函数。这是朝着证明猜想(在第四和第五 Painlevé 方程的情况下)迈出的一大步。还证实了在秩1和2的情况下,可以从所获得的不确定共形块满足的双线性微分方程反过来确定不确定共形块。换句话说,虽然是具体情况,但我们利用微分方程(不涉及表示论)得到了不定共形块的定义。尽管这种双线性微分方程对于确定共形块是已知的,但有趣的是发现不确定共形块的双线性微分方程是不同类型的。

项目成果

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